गणित ✍️ अध्याय-8: प्रतिशत (Full Notes)

📊 गणित — अध्याय 8

प्रतिशत

Percentage • Fraction • Decimal • Increase • Decrease • Successive Change • Reverse Percentage • Applications

📚 अध्याय परिचय
प्रतिशत गणित का अत्यंत महत्वपूर्ण Topic है। प्रतियोगी परीक्षाओं में Percentage का प्रयोग केवल सीधे प्रतिशत निकालने में नहीं, बल्कि लाभ-हानि, छूट, अनुपात, जनसंख्या, वेतन, अंक, मूल्य-वृद्धि, कमी तथा अनेक word problems में किया जाता है।

इस अध्याय में Percentage के basic concept से लेकर competitive level के successive percentage, reverse percentage और application-based questions तक को व्यवस्थित रूप से समझाया गया है।

📑 Table of Contents

1. प्रतिशत क्या है?
2. प्रतिशत और भिन्न का संबंध
3. प्रतिशत और दशमलव का संबंध
4. Fraction को Percentage में बदलना
5. Percentage को Fraction में बदलना
6. Percentage निकालने की मूल विधि
7. किसी संख्या का प्रतिशत
8. एक संख्या दूसरी से कितने प्रतिशत अधिक/कम
9. प्रतिशत वृद्धि
10. प्रतिशत कमी
11. Successive Percentage Change
12. Reverse Percentage
13. अंक और परीक्षा आधारित प्रश्न
14. जनसंख्या, वेतन और मूल्य आधारित प्रश्न
15. प्रतिशत का अनुपात से संबंध
16. Competitive Level Solved Examples
17. Percentage के Advanced Applications
18. Common Traps और गलतियाँ
19. Exam Strategy और Short Tricks
20. One Liner Quick Revision

1️⃣ प्रतिशत क्या है?

प्रतिशत का अर्थ है प्रति सौ। Percentage को सामान्यतः % चिन्ह से प्रदर्शित किया जाता है।

x% = x/100

उदाहरण:

25% = 25/100 = 1/4
50% = 50/100 = 1/2
75% = 75/100 = 3/4

महत्वपूर्ण: Percentage हमेशा किसी reference quantity के संबंध में समझा जाता है।

2️⃣ प्रतिशत और भिन्न का संबंध

Percentage को fraction के रूप में लिखने के लिए % को 100 के denominator के रूप में लिया जाता है।

20% = 20/100 = 1/5
40% = 40/100 = 2/5
60% = 60/100 = 3/5
80% = 80/100 = 4/5

कुछ महत्वपूर्ण रूपांतरण

Percentage	Fraction
10%	1/10
12.5%	1/8
20%	1/5
25%	1/4
33⅓%	1/3
50%	1/2
66⅔%	2/3
75%	3/4

3️⃣ प्रतिशत और दशमलव का संबंध

Percentage को decimal में बदलने के लिए 100 से divide किया जाता है।

25% = 0.25
40% = 0.40
7% = 0.07
125% = 1.25

Decimal से Percentage

Decimal को percentage में बदलने के लिए 100 से multiply करें।

0.35 × 100 = 35%
0.625 × 100 = 62.5%

Shortcut: Decimal → Percentage = ×100
Percentage → Decimal = ÷100

4️⃣ Fraction को Percentage में बदलना

किसी fraction को percentage में बदलने के लिए उसे 100 से multiply करें।

उदाहरण 1

3/5 × 100 = 60%

उदाहरण 2

7/8 × 100 = 87.5%

उदाहरण 3

2/3 × 100 = 66⅔%

Exam Tip: 1/8 = 12.5%, 1/4 = 25%, 1/5 = 20%, 1/10 = 10% जैसे conversions याद रखने से calculation तेज हो जाती है।

5️⃣ Percentage को Fraction में बदलना

Percentage को 100 के denominator में लिखकर fraction को simplify करें।

35% = 35/100 = 7/20

45% = 45/100 = 9/20

62.5% = 62.5/100 = 5/8

विशेष प्रतिशत

12.5% = 1/8
16⅔% = 1/6
20% = 1/5
25% = 1/4
33⅓% = 1/3
66⅔% = 2/3

6️⃣ Percentage निकालने की मूल विधि

यदि पूछा जाए कि A, B का कितने प्रतिशत है, तो:

Percentage = (A / B) × 100

उदाहरण

40, 160 का कितने प्रतिशत है?

(40/160) × 100
= 25%
उत्तर = 25%

सबसे महत्वपूर्ण: Percentage में numerator और base/reference quantity को पहचानना बहुत जरूरी है।

7️⃣ किसी संख्या का प्रतिशत

यदि किसी संख्या N का x% निकालना हो:

x% of N = (x/100) × N

उदाहरण 1

240 का 15%:

15/100 × 240 = 36

उदाहरण 2

480 का 12.5%:

12.5% = 1/8
480 ÷ 8 = 60

उदाहरण 3

720 का 33⅓%:

33⅓% = 1/3
720 ÷ 3 = 240

8️⃣ एक संख्या दूसरी से कितने प्रतिशत अधिक/कम

अधिक होने का प्रतिशत

यदि A, B से अधिक है, तो B को base मानकर:

(A − B) / B × 100

उदाहरण

60, 50 से कितने प्रतिशत अधिक है?

अंतर = 60 − 50 = 10
10/50 × 100 = 20%

कम होने का प्रतिशत

यदि A, B से कम है:

(B − A) / B × 100

उदाहरण: 40, 50 से कितने प्रतिशत कम है?

10/50 × 100 = 20%

⚠️ Trap: “कितने प्रतिशत अधिक/कम” में denominator किस quantity को base माना गया है, इसे ध्यान से पढ़ें।

9️⃣ प्रतिशत वृद्धि

यदि किसी quantity का प्रारंभिक मान A और नया मान B है, तो percentage increase:

Increase % = (B − A)/A × 100

उदाहरण

एक संख्या 200 से बढ़कर 250 हो गई। वृद्धि प्रतिशत?

वृद्धि = 250 − 200 = 50
50/200 × 100 = 25%

नई संख्या निकालना

यदि 500 में 20% वृद्धि हो:

20% of 500 = 100
नई संख्या = 500 + 100 = 600

या सीधे:

500 × 120/100 = 600

🔟 प्रतिशत कमी

यदि किसी quantity का मान A से घटकर B हो जाए:

Decrease % = (A − B)/A × 100

उदाहरण

एक वस्तु का मूल्य ₹800 से घटकर ₹680 हो गया। कमी प्रतिशत?

कमी = 800 − 680 = 120
120/800 × 100 = 15%

कमी के बाद नया मान

1000 में 15% कमी:

1000 × 85/100 = 850

1️⃣1️⃣ Successive Percentage Change

जब किसी quantity पर एक के बाद एक percentage changes लागू हों, तो इसे successive percentage change कहा जाता है।

दो successive increases

यदि क्रमशः a% और b% वृद्धि हो:

Net Increase = a + b + ab/100

उदाहरण: 20% और 10% की क्रमिक वृद्धि

20 + 10 + (20×10)/100
= 30 + 2
= 32%

दो successive decreases

यदि क्रमशः a% और b% कमी हो:

Net Decrease = a + b − ab/100

उदाहरण: 20% और 10% की क्रमिक कमी

20 + 10 − 2 = 28%

Important: 20% वृद्धि के बाद 20% कमी से original value वापस नहीं आती।

1️⃣2️⃣ Reverse Percentage

जब final value और percentage change दिया हो तथा original value निकालनी हो, तो reverse percentage का उपयोग होता है।

उदाहरण 1

किसी संख्या में 20% वृद्धि के बाद उसका मान 360 हो गया। मूल संख्या?

Final = 120% of Original
360 = 120/100 × Original
Original = 360 × 100/120
= 300

उदाहरण 2

20% कमी के बाद किसी वस्तु का मूल्य ₹640 है। मूल मूल्य?

640 = 80% of Original
Original = 640 × 100/80
= ₹800

Shortcut: Increase के बाद final = 100 + increase%.
Decrease के बाद final = 100 − decrease%.

1️⃣3️⃣ अंक और परीक्षा आधारित प्रश्न

Percentage का एक महत्वपूर्ण उपयोग परीक्षा के marks वाले questions में होता है।

उदाहरण 1

एक विद्यार्थी ने 500 में से 375 अंक प्राप्त किए। प्रतिशत कितना है?

375/500 × 100 = 75%

उदाहरण 2

किसी परीक्षा में 72% अंक प्राप्त हुए और कुल अंक 750 हैं। प्राप्त अंक?

72/100 × 750 = 540

उदाहरण 3

किसी छात्र को 40% अंक मिले और वह 20 अंक से fail हो गया। यदि passing marks 50% हैं, तो कुल अंक कितने हैं?

अंतर = 50% − 40% = 10%
10% = 20 अंक
100% = 20 × 10
कुल अंक = 200

1️⃣4️⃣ जनसंख्या, वेतन और मूल्य आधारित प्रश्न

🔹 जनसंख्या

किसी शहर की जनसंख्या 50,000 है और 8% बढ़ती है:

वृद्धि = 50,000 × 8/100 = 4,000
नई जनसंख्या = 54,000

🔹 वेतन

₹20,000 वेतन में 15% वृद्धि:

20,000 × 115/100 = ₹23,000

🔹 मूल्य

₹1,500 की वस्तु के मूल्य में 12% कमी:

1,500 × 88/100 = ₹1,320

Exam Approach: पहले original/base value पहचानें, फिर percentage change लागू करें।

1️⃣5️⃣ प्रतिशत का अनुपात से संबंध

Percentage और ratio को आपस में बदला जा सकता है।

उदाहरण

यदि लड़कों और लड़कियों का अनुपात 3:2 है, तो कुल 5 parts हैं।

लड़कों का प्रतिशत = 3/5 × 100 = 60%
लड़कियों का प्रतिशत = 2/5 × 100 = 40%

Percentage से Ratio

यदि किसी class में लड़के 60% हैं, तो:

लड़के : बाकी = 60 : 40 = 3 : 2

महत्वपूर्ण: Percentage को ratio में बदलते समय दोनों parts को समान factor से simplify करें।

1️⃣6️⃣ Competitive Level Solved Examples

प्रश्न 1: 640 का 12.5% कितना है?

12.5% = 1/8
640 ÷ 8 = 80

प्रश्न 2: 45, 180 का कितने प्रतिशत है?

45/180 × 100 = 25%

प्रश्न 3: किसी संख्या में 25% वृद्धि और फिर 20% कमी होती है। कुल परिवर्तन?

Net change = 25 − 20 − (25×20)/100
= 5 − 5
= 0%

अतः मूल मान वापस आ जाता है।

प्रश्न 4: किसी वस्तु का मूल्य 20% बढ़कर ₹960 हो गया। मूल मूल्य?

Original = 960 × 100/120
= ₹800

प्रश्न 5: किसी संख्या का 35% = 140 है। संख्या क्या है?

35/100 × N = 140
N = 140 × 100/35
= 400

प्रश्न 6: किसी वस्तु की कीमत 10% और फिर 20% बढ़ती है। कुल वृद्धि?

10 + 20 + (10×20)/100
= 30 + 2
= 32%

1️⃣7️⃣ Percentage के Advanced Applications

🔹 आय और व्यय

यदि आय और खर्च दोनों percentage में बदलते हैं, तो बचत पर प्रभाव निकालने के लिए दोनों को अलग-अलग आधार पर समझना जरूरी है।

🔹 Price और Consumption

मूल्य बढ़ने या घटने पर समान expenditure बनाए रखने के लिए consumption में opposite percentage change का concept आता है।

उदाहरण

किसी वस्तु की कीमत 25% बढ़ जाती है। समान खर्च रखने के लिए consumption कितने प्रतिशत घटाना होगा?

Consumption reduction
= 25/125 × 100
= 20%

🔹 Population और Growth

Population में लगातार दो वर्षों की वृद्धि successive percentage change का application है।

🔹 Marks Comparison

दो विद्यार्थियों के marks की तुलना करते समय जिस विद्यार्थी या कुल marks को base बनाया गया है, उसी के अनुसार percentage निकलेगा।

SuperTET Focus: Advanced questions में formula याद करने से ज्यादा महत्वपूर्ण है कि percentage किस quantity के संबंध में पूछा गया है।

1️⃣8️⃣ Common Traps और गलतियाँ

• Base value गलत लेना: Percentage comparison में denominator बहुत महत्वपूर्ण है।
• Successive change को सीधे जोड़ देना: हर situation में केवल a+b नहीं होता।
• 20% increase और 20% decrease को zero change समझना: ऐसा सामान्यतः नहीं होता।
• Reverse percentage में final value को original मान लेना: पहले relation बनाएं।
• Percentage और percentage points को confuse करना: दोनों का अर्थ समान नहीं है।
• Decimal conversion में 100 का factor भूलना: Percentage ↔ Decimal conversion ध्यान से करें।
• Ratio से percentage में total parts भूलना: denominator कुल parts होना चाहिए।
• “कम” और “अधिक” का base बदल देना: question की भाषा ध्यान से पढ़ें।

⚠️ Exam Alert: Percentage questions में calculation से पहले यह लिखें कि “किसका कितने प्रतिशत?” इससे कई conceptual mistakes बचती हैं।

1️⃣9️⃣ Exam Strategy और Short Tricks

🔹 Trick 1

10% = संख्या का 1/10

🔹 Trick 2

5% = संख्या का 1/20

🔹 Trick 3

12.5% = 1/8

🔹 Trick 4

25% = 1/4

🔹 Trick 5

33⅓% = 1/3

🔹 Trick 6

66⅔% = 2/3

🔹 Trick 7

Successive changes में multiplier method भी उपयोगी है।

20% increase → ×1.20
20% decrease → ×0.80
15% increase → ×1.15
15% decrease → ×0.85

🔹 Trick 8

Reverse percentage में final value को corresponding percentage से divide करके ×100 करें।

🎯 SuperTET Approach:
Question पढ़ें → Base पहचानें → Percentage को fraction/decimal में बदलें → सही formula लगाएँ → answer verify करें।

2️⃣0️⃣ One Liner Quick Revision

1. Percentage का अर्थ प्रति सौ है।

2. x% = x/100।

3. Percentage → Decimal के लिए 100 से divide करें।

4. Decimal → Percentage के लिए 100 से multiply करें।

5. Fraction → Percentage = Fraction × 100।

6. 25% = 1/4।

7. 12.5% = 1/8।

8. 33⅓% = 1/3।

9. 66⅔% = 2/3।

10. Increase % में original value base होती है।

11. Decrease % में भी original value base होती है।

12. Successive percentage changes में प्रत्येक change नए value पर लागू होता है।

13. Reverse percentage में final value से original value निकाली जाती है।

🎯 Exam Important Points

• Percentage ↔ Fraction ↔ Decimal conversion अच्छी तरह करें।
• Base/reference quantity पहचानना सीखें।
• Percentage increase और decrease के formulas याद रखें।
• Successive percentage change पर विशेष ध्यान दें।
• Reverse percentage के questions का अभ्यास करें।
• Marks और passing marks आधारित problems करें।
• Population, salary और price based questions हल करें।
• Ratio और percentage का संबंध समझें।
• Price-consumption जैसे application questions पर ध्यान दें।

📚 Chapter 8 Preparation Roadmap

📊 Percentage Concept
⬇
🔢 Fraction & Decimal Conversion
⬇
📈 Increase / Decrease
⬇
🔄 Successive Change
⬇
↩️ Reverse Percentage
⬇
📝 Word Problems
⬇
🧠 Competitive Questions
⬇
🔄 Final Revision

🚀 अगला अध्याय

अध्याय-9: अनुपात एवं समानुपात

Ratio • Proportion • Continued Ratio • Direct & Inverse Proportion • Unitary Method • Partnership Applications • Competitive Questions

📚 Sunil Learning Point

गणित की व्यवस्थित एवं Competitive Level तैयारी

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