गणित ✍️ अध्याय-9: अनुपात एवं समानुपात (Full Notes)

📐 गणित — अध्याय 9

अनुपात एवं समानुपात

Ratio • Proportion • Equivalent Ratio • Continued Ratio • Direct Proportion • Inverse Proportion • Unitary Method

📚 अध्याय परिचय
अनुपात एवं समानुपात गणित के महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। प्रतियोगी परीक्षाओं में Ratio और Proportion का प्रयोग केवल सीधे अनुपात निकालने में नहीं, बल्कि आयु, धन-वितरण, संख्या, मिश्रण, कार्य, दूरी, गति, उत्पादन, साझेदारी तथा अनेक word problems में किया जाता है।

इस अध्याय में Basic Concept से लेकर Competitive Level के application-based questions तक को क्रमबद्ध तरीके से समझाया गया है।

📑 Table of Contents

1. अनुपात क्या है?
2. अनुपात की मूल बातें
3. अनुपात को सरलतम रूप में बदलना
4. समतुल्य अनुपात
5. अनुपातों की तुलना
6. अनुपात में अज्ञात संख्या
7. समानुपात क्या है?
8. समानुपात का मुख्य नियम
9. Continued Ratio
10. तीन राशियों का अनुपात
11. प्रत्यक्ष समानुपात
12. व्युत्क्रमानुपात
13. इकाई विधि और अनुपात
14. धन एवं संख्या का वितरण
15. आयु आधारित प्रश्न
16. Competitive Level Solved Examples
17. Ratio के Advanced Applications
18. Common Traps और गलतियाँ
19. Exam Strategy और Short Tricks
20. One Liner Quick Revision

1️⃣ अनुपात क्या है?

दो समान प्रकार की राशियों की तुलना को अनुपात (Ratio) कहते हैं।

यदि दो राशियाँ a और b हैं, तो उनका अनुपात:

a : b

यहाँ a को पूर्वपद और b को उत्तरपद कहा जाता है।

उदाहरण

20 और 30 का अनुपात = 20 : 30
= 2 : 3

ध्यान दें: अनुपात में तुलना की जाने वाली राशियाँ सामान्यतः समान इकाई में होनी चाहिए।

2️⃣ अनुपात की मूल बातें

यदि दो राशियाँ 12 और 18 हैं, तो अनुपात:

12 : 18 = 2 : 3

अनुपात को fraction की तरह भी लिखा जा सकता है:

12 : 18 = 12/18 = 2/3

महत्वपूर्ण शब्द

शब्द	अर्थ
पूर्वपद	Ratio का पहला पद
उत्तरपद	Ratio का दूसरा पद
Ratio	दो समान प्रकार की राशियों की तुलना

3️⃣ अनुपात को सरलतम रूप में बदलना

अनुपात को सरल करने के लिए दोनों पदों को उनके HCF से divide किया जाता है।

उदाहरण 1

24 : 36
HCF = 12
24 ÷ 12 : 36 ÷ 12
= 2 : 3

उदाहरण 2

45 : 75
HCF = 15
= 3 : 5

Exam Tip: Ratio simplification में HCF की पहचान calculation को बहुत तेज कर सकती है।

4️⃣ समतुल्य अनुपात

यदि किसी अनुपात के दोनों पदों को समान संख्या से multiply या divide किया जाए, तो equivalent ratio प्राप्त होता है।

2 : 3

×2 → 4 : 6
×3 → 6 : 9
×5 → 10 : 15

अतः:

2 : 3 = 4 : 6 = 6 : 9 = 10 : 15

महत्वपूर्ण नियम

Ratio के दोनों terms पर समान non-zero factor लागू करने से ratio का वास्तविक संबंध नहीं बदलता।

5️⃣ अनुपातों की तुलना

दो ratios की तुलना करने के लिए उन्हें समान denominator या fraction form में लिखा जा सकता है।

उदाहरण

2 : 3 और 3 : 5 में कौन बड़ा है?

2/3 और 3/5

Cross multiplication:
2 × 5 = 10
3 × 3 = 9

इसलिए 2 : 3 बड़ा है।

Shortcut: a/b और c/d की तुलना में ad और bc की तुलना करें।

6️⃣ अनुपात में अज्ञात संख्या

यदि दो ratios समान हों, तो cross multiplication द्वारा unknown value निकाली जा सकती है।

उदाहरण

3 : 5 = x : 20, तो x का मान?

3/5 = x/20
3 × 20 = 5x
60 = 5x
x = 12

एक और उदाहरण

7 : 9 = 21 : x

7x = 9 × 21
7x = 189
x = 27

7️⃣ समानुपात क्या है?

जब दो ratios बराबर होते हैं, तो उन्हें समानुपात (Proportion) कहते हैं।

a : b = c : d

इसे इस प्रकार भी लिखा जाता है:

a/b = c/d

उदाहरण

2 : 3 = 8 : 12
क्योंकि 2/3 = 8/12

8️⃣ समानुपात का मुख्य नियम

यदि:

a : b = c : d

तो:

a × d = b × c

इसे cross multiplication का नियम कहा जाता है।

उदाहरण

4 : 7 = 12 : x

4x = 7 × 12
4x = 84
x = 21

Exam Alert: Proportion questions में बाहरी पद और मध्य पदों की पहचान करना उपयोगी है।

9️⃣ Continued Ratio

जब तीन राशियों को एक साथ ratio में व्यक्त किया जाता है, तो उसे continued ratio कहा जाता है।

a : b : c

उदाहरण

यदि A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5, तो A : B : C ज्ञात करें।

B के दोनों ratios में common value बनानी होगी।

A : B = 2 : 3
B : C = 4 : 5

B को समान बनाने के लिए:
पहले ratio को ×4 → 8 : 12
दूसरे ratio को ×3 → 12 : 15

अतः A : B : C = 8 : 12 : 15

🔟 तीन राशियों का अनुपात

यदि तीन राशियों का ratio दिया हो, तो कुल quantity को ratio के कुल parts में बाँटकर प्रत्येक राशि निकाली जा सकती है।

उदाहरण

₹600 को 2 : 3 : 5 के अनुपात में बाँटना है।

कुल parts = 2 + 3 + 5 = 10
एक part = 600/10 = 60

पहली राशि = 2 × 60 = ₹120
दूसरी राशि = 3 × 60 = ₹180
तीसरी राशि = 5 × 60 = ₹300

Formula: किसी व्यक्ति का हिस्सा = Total × उसका ratio part / कुल ratio parts

1️⃣1️⃣ प्रत्यक्ष समानुपात

जब एक quantity बढ़ने पर दूसरी quantity भी उसी दिशा में बढ़ती है और दोनों का ratio constant रहता है, तो इसे प्रत्यक्ष समानुपात कहते हैं।

x ∝ y

उदाहरण

5 किताबों की कीमत ₹400 है। 8 किताबों की कीमत कितनी होगी?

1 किताब = 400/5 = ₹80
8 किताबें = 8 × 80
= ₹640

यहाँ किताबों की संख्या बढ़ी, इसलिए कुल कीमत भी बढ़ी।

पहचान: एक quantity बढ़े और दूसरी भी उसी अनुपात में बढ़े → Direct Proportion.

1️⃣2️⃣ व्युत्क्रमानुपात

जब एक quantity बढ़ती है और दूसरी quantity उसी संबंध में घटती है तथा उनका product constant रहता है, तो इसे व्युत्क्रमानुपात कहते हैं।

x ∝ 1/y

उदाहरण

6 मजदूर किसी कार्य को 10 दिनों में करते हैं। समान क्षमता मानते हुए 12 मजदूर वही कार्य कितने दिनों में करेंगे?

मजदूर × दिन = Constant
6 × 10 = 60
12 × दिन = 60
दिन = 60/12
= 5 दिन

पहचान: एक quantity बढ़े और दूसरी घटे → अक्सर Inverse Proportion का संबंध होता है; प्रश्न की conditions अवश्य जाँचें।

1️⃣3️⃣ इकाई विधि और अनुपात

Unitary Method में पहले एक unit की value निकाली जाती है और फिर आवश्यक units की value निकाली जाती है।

उदाहरण

12 मीटर कपड़े की कीमत ₹1,800 है। 7 मीटर की कीमत?

1 मीटर = 1800/12 = ₹150
7 मीटर = 150 × 7
= ₹1,050

Competitive Use

Unitary method को direct proportion के साथ समझना calculation-based questions को सरल बनाता है।

1️⃣4️⃣ धन एवं संख्या का वितरण

धन का वितरण

₹840 को 3 : 4 के अनुपात में बाँटना है।

कुल parts = 7
एक part = 840/7 = 120
पहला हिस्सा = 3 × 120 = ₹360
दूसरा हिस्सा = 4 × 120 = ₹480

संख्या का वितरण

720 को 2 : 3 : 4 में बाँटें।

कुल parts = 9
एक part = 720/9 = 80
संख्याएँ = 160, 240, 320

1️⃣5️⃣ आयु आधारित प्रश्न

Age problems में वर्तमान आयु का ratio दिया जा सकता है और कुछ वर्षों बाद या पहले की आयु निकालनी पड़ सकती है।

उदाहरण

A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 3 : 5 है और उनकी कुल आयु 40 वर्ष है। आयु ज्ञात करें।

कुल parts = 3 + 5 = 8
एक part = 40/8 = 5
A की आयु = 3 × 5 = 15 वर्ष
B की आयु = 5 × 5 = 25 वर्ष

महत्वपूर्ण बात

Age ratio समय के साथ बदल सकता है। इसलिए “वर्तमान”, “5 वर्ष बाद” और “5 वर्ष पहले” जैसी conditions को ध्यान से पढ़ें।

1️⃣6️⃣ Competitive Level Solved Examples

प्रश्न 1: 45 : 60 का सरलतम अनुपात क्या है?

HCF = 15
45 : 60 = 3 : 4

प्रश्न 2: 4 : 7 = x : 21 में x ज्ञात करें।

4/7 = x/21
4 × 21 = 7x
84 = 7x
x = 12

प्रश्न 3: ₹1,200 को 2 : 3 : 5 में बाँटने पर सबसे बड़ा हिस्सा कितना होगा?

कुल parts = 10
एक part = 120
सबसे बड़ा हिस्सा = 5 × 120
= ₹600

प्रश्न 4: A : B = 3 : 4 और B : C = 8 : 9 हो, तो A : B : C क्या होगा?

A : B = 6 : 8
B : C = 8 : 9
अतः A : B : C = 6 : 8 : 9

प्रश्न 5: 8 मजदूर कोई कार्य 15 दिन में करते हैं। 12 मजदूर वही कार्य कितने दिन में करेंगे?

8 × 15 = 120
12 × दिन = 120
दिन = 10

प्रश्न 6: दो संख्याओं का अनुपात 5 : 7 है और उनका योग 96 है। बड़ी संख्या?

कुल parts = 12
एक part = 8
बड़ी संख्या = 7 × 8
= 56

1️⃣7️⃣ Ratio के Advanced Applications

🔹 अनुपात में परिवर्तन

यदि किसी ratio के एक पद में वृद्धि या कमी हो जाए, तो नया ratio बनाकर unknown quantity निकाली जा सकती है।

🔹 आयु + Ratio

Age ratio में future या past condition जोड़कर equations बनाई जा सकती हैं।

🔹 धन + Ratio

कुल राशि को ratio parts में विभाजित करके individual shares निकाले जाते हैं।

🔹 Direct और Inverse Relationship

Question में यह पहचानना जरूरी है कि quantities साथ-साथ बढ़ती हैं या एक बढ़ने पर दूसरी घटती है।

🔹 Compound Ratio

यदि दो या अधिक ratios को combine करना हो तो corresponding terms का multiplication करके compound ratio प्राप्त किया जा सकता है।

SuperTET Focus: कठिन प्रश्नों में calculation से पहले quantities के बीच relationship पहचानना सबसे महत्वपूर्ण कदम है।

1️⃣8️⃣ Common Traps और गलतियाँ

• अलग-अलग units वाली quantities का ratio सीधे निकालना।
• Ratio को simplify करते समय दोनों terms को अलग-अलग numbers से divide करना।
• Direct और inverse proportion को confuse करना।
• Ratio में total parts निकालना भूल जाना।
• Age problems में past और future condition को ignore करना।
• तीन ratios जोड़ते समय common middle term को समान न करना।
• Proportion में cross multiplication गलत करना।
• Question में दिए total को किसी एक ratio part के बराबर मान लेना।

⚠️ Exam Alert: Ratio का answer निकालने से पहले units, base quantity और total parts की जाँच जरूर करें।

1️⃣9️⃣ Exam Strategy और Short Tricks

🔹 Trick 1 — Ratio Simplification

दोनों terms का HCF निकालकर तुरंत simplify करें।

🔹 Trick 2 — Total Distribution

पहले सभी ratio parts जोड़ें, फिर total को parts से divide करें।

🔹 Trick 3 — Proportion

a : b = c : d हो तो a × d = b × c.

🔹 Trick 4 — Direct Proportion

एक quantity बढ़े और दूसरी भी उसी दिशा में बढ़े तो direct relationship की जाँच करें।

🔹 Trick 5 — Inverse Proportion

एक quantity बढ़ने पर दूसरी घटे और product constant रहे तो inverse relationship होता है।

🔹 Trick 6 — Ratio to Percentage

यदि A : B = 3 : 2
कुल parts = 5
A का percentage = 3/5 × 100 = 60%

🔹 Trick 7 — Competitive Approach

Question पढ़ें
⬇
Quantities पहचानें
⬇
Units समान करें
⬇
Ratio/Proportion बनाएं
⬇
Equation लगाएँ
⬇
Answer verify करें

2️⃣0️⃣ One Liner Quick Revision

1. दो समान प्रकार की राशियों की तुलना को Ratio कहते हैं।

2. Ratio का पहला पद पूर्वपद और दूसरा पद उत्तरपद कहलाता है।

3. Ratio को सामान्यतः HCF से divide करके simplest form में लाया जाता है।

4. Equivalent ratio में दोनों terms को समान factor से multiply या divide किया जाता है।

5. दो बराबर ratios को Proportion कहते हैं।

6. a : b = c : d में ad = bc होता है।

7. तीन राशियों के ratio को continued ratio कहा जा सकता है।

8. Direct proportion में quantities एक ही दिशा में बदलती हैं।

9. Inverse proportion में एक quantity बढ़ने पर दूसरी घट सकती है।

10. धन-वितरण में पहले total ratio parts निकाले जाते हैं।

11. Ratio questions में units को समान करना आवश्यक हो सकता है।

12. Age ratio questions में समय की condition को ध्यान से पढ़ना चाहिए।

🎯 Exam Important Points

• Ratio को simplest form में बदलना।
• Equivalent ratios पहचानना।
• Proportion में missing term निकालना।
• Continued ratio और तीन राशियों का distribution।
• Direct और inverse proportion में अंतर।
• Unitary method का application।
• धन एवं संख्या का ratio-based distribution।
• Age-based ratio problems।
• Competitive word problems में relationship पहचानना।

📚 Chapter 9 Preparation Roadmap

📐 Ratio Concept
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🔢 Simplification
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🔗 Equivalent Ratio
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⚖️ Proportion
⬇
🔢 Continued Ratio
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📈 Direct Proportion
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📉 Inverse Proportion
⬇
🧠 Competitive Applications
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🔄 Revision

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📚 Sunil Learning Point

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