गणित ✍️ अध्याय-7: भिन्न एवं दशमलव (Full Notes)

📐 गणित — अध्याय 7

भिन्न एवं दशमलव

Fractions • Decimals • Conversion • Comparison • Operations • Recurring Decimal • Applications

📚 अध्याय परिचय
भिन्न और दशमलव गणित के महत्वपूर्ण आधारभूत Topics हैं। प्रतियोगी परीक्षाओं में इनसे केवल जोड़, घटाव, गुणा और भाग ही नहीं, बल्कि भिन्नों की तुलना, सरलतम रूप, मिश्रित भिन्न, दशमलव रूपांतरण, आवर्ती दशमलव, अनुपात, प्रतिशत तथा word problems आधारित प्रश्न भी पूछे जा सकते हैं।

इस अध्याय में Concepts को क्रमबद्ध तरीके से समझाया गया है ताकि विद्यार्थी calculation-based questions को तेज और सही तरीके से हल कर सके।

📑 Table of Contents

1. भिन्न क्या है?
2. भिन्न के प्रमुख प्रकार
3. समान और असमान हर वाली भिन्न
4. भिन्न को सरलतम रूप में बदलना
5. समतुल्य भिन्न
6. भिन्नों की तुलना
7. भिन्नों का जोड़
8. भिन्नों का घटाव
9. भिन्नों का गुणा
10. भिन्नों का भाग
11. मिश्रित भिन्न और अशुद्ध भिन्न
12. दशमलव संख्या क्या है?
13. भिन्न को दशमलव में बदलना
14. दशमलव को भिन्न में बदलना
15. सांत और आवर्ती दशमलव
16. Competitive Level Solved Examples
17. भिन्न-दशमलव के अनुप्रयोग
18. Common Traps और गलतियाँ
19. Exam Strategy और Short Tricks
20. One Liner Quick Revision

1️⃣ भिन्न क्या है?

जब किसी पूर्ण वस्तु या संख्या को बराबर भागों में बाँटकर उनमें से कुछ भाग को दर्शाया जाता है, तो उसे भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

a / b

जहाँ:

• a = अंश (Numerator)
• b = हर (Denominator)
• b ≠ 0

उदाहरण:

3/5 में 3 अंश है और 5 हर है।

महत्वपूर्ण: किसी भिन्न का हर 0 नहीं हो सकता।

2️⃣ भिन्न के प्रमुख प्रकार

🔹 1. उचित भिन्न (Proper Fraction)

जिसमें अंश हर से छोटा हो।

उदाहरण: 3/5, 7/9

🔹 2. अनुचित भिन्न (Improper Fraction)

जिसमें अंश हर के बराबर या बड़ा हो।

उदाहरण: 7/5, 9/4, 8/8

🔹 3. मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction)

पूर्ण संख्या और उचित भिन्न का संयोजन।

उदाहरण: 2 1/3

🔹 4. एकक भिन्न (Unit Fraction)

जिसका अंश 1 हो।

उदाहरण: 1/2, 1/7, 1/10

🔹 5. समतुल्य भिन्न

अलग रूप में लिखी गई लेकिन समान मान वाली भिन्नें।

उदाहरण: 1/2 = 2/4 = 3/6

3️⃣ समान और असमान हर वाली भिन्न

समान हर वाली भिन्न

जिन भिन्नों के denominator समान हों।

उदाहरण:

2/7, 3/7, 5/7

असमान हर वाली भिन्न

जिनके denominator अलग-अलग हों।

1/2, 2/3, 5/8

Exam Tip: असमान हर वाली भिन्नों के जोड़ या घटाव में सामान्यतः LCM की आवश्यकता पड़ती है।

4️⃣ भिन्न को सरलतम रूप में बदलना

यदि अंश और हर में 1 के अलावा कोई common factor हो, तो दोनों को उस common factor से विभाजित करके fraction को सरल बनाया जा सकता है।

उदाहरण: 36/48

36 और 48 का HCF = 12

36 ÷ 12 = 3
48 ÷ 12 = 4

अतः 36/48 = 3/4

सरलतम रूप में numerator और denominator का HCF 1 होता है।

5️⃣ समतुल्य भिन्न

यदि अंश और हर दोनों को एक ही non-zero संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलता।

उदाहरण

1/3 × 2/2 = 2/6
1/3 × 3/3 = 3/9
1/3 × 4/4 = 4/12

इसलिए:

1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12

ध्यान रखें: केवल numerator या केवल denominator को बदलने से सामान्यतः fraction का मान बदल जाता है।

6️⃣ भिन्नों की तुलना

🔹 समान हर

हर समान हो तो जिसका अंश बड़ा होगा, वह भिन्न बड़ी होगी।

5/9 > 2/9

🔹 समान अंश

धनात्मक भिन्नों में अंश समान हो तो जिसका हर छोटा होगा, वह भिन्न बड़ी होगी।

3/5 > 3/8

🔹 Cross Multiplication

a/b और c/d की तुलना के लिए ad और bc की तुलना की जा सकती है।

उदाहरण: 5/8 और 7/12

5 × 12 = 60
7 × 8 = 56

क्योंकि 60 > 56:

5/8 > 7/12

7️⃣ भिन्नों का जोड़

समान हर

समान denominator होने पर numerator जोड़कर denominator वही रखा जाता है।

2/7 + 3/7 = 5/7

असमान हर

पहले denominators का LCM लें।

उदाहरण:

1/6 + 1/4

6 और 4 का LCM = 12

1/6 = 2/12
1/4 = 3/12

2/12 + 3/12 = 5/12

8️⃣ भिन्नों का घटाव

जोड़ की तरह ही असमान denominator वाली fractions में पहले LCM लेकर समान denominator बनाते हैं।

उदाहरण:

5/6 − 1/4

LCM(6,4) = 12

5/6 = 10/12
1/4 = 3/12

10/12 − 3/12 = 7/12

Trap: सीधे अंशों को घटाकर हरों को घटाना गलत है।

9️⃣ भिन्नों का गुणा

दो fractions को multiply करते समय numerator को numerator से और denominator को denominator से गुणा किया जाता है।

2/3 × 5/7 = (2×5)/(3×7) = 10/21

🔹 Cross Cancellation

गुणा करने से पहले common factors को काटने से calculation आसान हो सकती है।

उदाहरण:

8/15 × 25/16

8 और 16 को 8 से तथा 25 और 15 को 5 से simplify करें:

1/3 × 5/2 = 5/6

🔟 भिन्नों का भाग

किसी fraction से भाग देने के लिए दूसरी fraction का reciprocal लेकर multiplication किया जाता है।

a/b ÷ c/d = a/b × d/c

उदाहरण:

3/5 ÷ 9/10

9/10 का reciprocal = 10/9

3/5 × 10/9
= 30/45
= 2/3

महत्वपूर्ण: Division में केवल denominator को उलटना नहीं है; पूरी दूसरी fraction का reciprocal लेना है।

1️⃣1️⃣ मिश्रित भिन्न और अशुद्ध भिन्न

Mixed → Improper Fraction

उदाहरण: 2 3/5

(2 × 5 + 3) / 5
= 13/5

Improper → Mixed Fraction

उदाहरण: 17/4

17 ÷ 4 = 4 शेष 1

अतः:

17/4 = 4 1/4

🔹 Competitive Tip

Complex fraction calculations में पहले सभी mixed fractions को improper fractions में बदलना calculation को आसान बना सकता है।

1️⃣2️⃣ दशमलव संख्या क्या है?

जिस संख्या को decimal point की सहायता से लिखा जाता है, उसे दशमलव संख्या कहते हैं।

25.75

यहाँ:

• 25 = पूर्णांक भाग
• 75 = दशमलव भाग

Place Value

0.7 = सात दशांश
0.07 = सात शतांश
0.007 = सात सहस्रांश

महत्वपूर्ण: 0.7 और 0.07 समान नहीं हैं।

1️⃣3️⃣ भिन्न को दशमलव में बदलना

Fraction को decimal में बदलने के लिए numerator को denominator से divide किया जा सकता है।

उदाहरण 1

1/2 = 0.5

उदाहरण 2

3/4 = 0.75

उदाहरण 3

1/8 = 0.125

🔹 10, 100, 1000 के denominator

7/10 = 0.7
37/100 = 0.37
125/1000 = 0.125

1️⃣4️⃣ दशमलव को भिन्न में बदलना

उदाहरण 1

0.75 में दो decimal places हैं।

0.75 = 75/100 = 3/4

उदाहरण 2

0.125 = 125/1000 = 1/8

उदाहरण 3

2.5 = 25/10 = 5/2

Rule: Decimal places जितने होंगे, denominator में उतने zeros होंगे—10, 100, 1000 आदि।

1️⃣5️⃣ सांत और आवर्ती दशमलव

🔹 सांत दशमलव (Terminating Decimal)

जिस decimal representation के बाद digits समाप्त हो जाएँ, उसे terminating decimal कहते हैं।

उदाहरण:

1/2 = 0.5
3/8 = 0.375
7/20 = 0.35

🔹 आवर्ती दशमलव (Recurring Decimal)

जिसमें कोई digit या digits बार-बार दोहराते रहें, उसे recurring decimal कहते हैं।

1/3 = 0.3333...
2/11 = 0.181818...

🔹 महत्वपूर्ण नियम

सरलतम रूप में किसी fraction के denominator में केवल 2 और 5 के prime factors हों, तो उसका decimal terminating होगा।

उदाहरण: 3/40
40 = 2³ × 5
अतः इसका decimal terminating होगा।

उदाहरण: 2/15
15 = 3 × 5
इसमें 3 भी है, इसलिए decimal recurring होगा।

1️⃣6️⃣ Competitive Level Solved Examples

प्रश्न 1: 3/4 + 5/6 का मान ज्ञात करें।

LCM(4,6) = 12
3/4 = 9/12
5/6 = 10/12
योग = 19/12 = 1 7/12

प्रश्न 2: 7/8 − 5/12 का मान ज्ञात करें।

LCM(8,12) = 24
7/8 = 21/24
5/12 = 10/24
अंतर = 11/24
उत्तर = 11/24

प्रश्न 3: 0.375 को सरलतम भिन्न में बदलें।

0.375 = 375/1000
375 और 1000 का HCF = 125
= 3/8
उत्तर = 3/8

प्रश्न 4: इनमें बड़ी भिन्न कौन-सी है: 7/12 या 5/8?

7 × 8 = 56
5 × 12 = 60
60 > 56
अतः 5/8 बड़ी है।

प्रश्न 5: 2/3 ÷ 4/9 का मान ज्ञात करें।

= 2/3 × 9/4
= 18/12
= 3/2

प्रश्न 6: 0.181818... को किस प्रकार की दशमलव संख्या कहा जाएगा?

यहाँ 18 लगातार दोहर रहा है।
अतः यह आवर्ती दशमलव है।

1️⃣7️⃣ भिन्न-दशमलव के अनुप्रयोग

Fractions और decimals का उपयोग कई दूसरे Mathematical Topics में भी होता है।

📊 प्रतिशत
25% = 25/100 = 1/4

⚖️ अनुपात
3:4 = 3/4

💰 धन
₹12.50 जैसे decimal values

📏 मापन
2.75 m आदि

Word Problem Example

एक छात्र ने किसी कार्य का 3/5 भाग पूरा कर लिया। शेष भाग कितना है?

1 − 3/5 = 2/5
शेष भाग = 2/5

एक और उदाहरण

एक टंकी की 0.75 क्षमता भर चुकी है। खाली भाग:

1 − 0.75 = 0.25

1️⃣8️⃣ Common Traps और गलतियाँ

• अंश और हर उलटना: fraction की पहचान करते समय numerator और denominator का स्थान सही रखें।
• हरों को जोड़ देना: 1/3 + 1/3 = 2/3, 2/6 नहीं।
• हरों को घटा देना: fraction subtraction में denominators को सीधे subtract नहीं किया जाता।
• Division में केवल denominator उलटना: पूरी दूसरी fraction का reciprocal लेना होता है।
• Decimal place भूलना: 0.5 और 0.05 अलग-अलग हैं।
• Recurring decimal को terminating समझना: repeating digits को पहचानें।
• Fraction simplify न करना: final answer को simplest form में लिखें, जब तक प्रश्न कुछ और न कहे।
• Comparison में केवल denominator देखना: सामान्य fractions में पूरा comparison करना आवश्यक है।

⚠️ Exam Alert: Calculation के बाद answer को दोबारा check करना accuracy बढ़ाने का सबसे सरल तरीका है।

1️⃣9️⃣ Exam Strategy और Short Tricks

🔹 Trick 1: Addition/Subtraction

असमान denominators हों तो LCM लें।

🔹 Trick 2: Comparison

दो fractions की तुलना में cross multiplication तेज तरीका हो सकता है।

🔹 Trick 3: Multiplication

पहले cross cancellation करें, फिर multiplication करें।

🔹 Trick 4: Division

दूसरी fraction का reciprocal लेकर multiplication करें।

🔹 Trick 5: Decimal Conversion

Denominator को 10, 100, 1000 आदि बनाने पर decimal conversion जल्दी किया जा सकता है।

🔹 Trick 6: Terminating Decimal

Lowest form में denominator के prime factors केवल 2 और 5 हों तो decimal terminating होगा।

🔹 Trick 7: Remaining Part

कुल भाग को 1 मानकर किया हुआ भाग घटाएँ।

🎯 SuperTET Approach:
Fraction पहचानें → Simplify करें → सही operation चुनें → LCM/Cross Multiplication लगाएँ → Answer verify करें।

2️⃣0️⃣ One Liner Quick Revision

1. Fraction = Numerator / Denominator।

2. Fraction का denominator 0 नहीं हो सकता।

3. Proper Fraction में numerator denominator से छोटा होता है।

4. Improper Fraction में numerator denominator के बराबर या बड़ा होता है।

5. Mixed Fraction में पूर्ण संख्या और proper fraction होती है।

6. Equivalent fractions का मान समान होता है।

7. Addition/Subtraction में असमान denominators के लिए LCM उपयोगी है।

8. Fraction multiplication में numerator और denominator अलग-अलग multiply होते हैं।

9. Fraction division में दूसरी fraction का reciprocal लिया जाता है।

10. 0.75 = 3/4।

11. 1/3 = 0.333... एक recurring decimal है।

12. Lowest form में denominator के prime factors केवल 2 और 5 हों तो decimal terminating होता है।

13. Fraction और Decimal दोनों का उपयोग percentage, ratio, measurement और word problems में होता है।

🎯 Exam Important Points

• Proper, Improper और Mixed Fractions अच्छी तरह समझें।
• Fractions को simplest form में बदलने का अभ्यास करें।
• Comparison में cross multiplication सीखें।
• Addition और subtraction में LCM का सही प्रयोग करें।
• Multiplication में cancellation का अभ्यास करें।
• Division में reciprocal का सही प्रयोग करें।
• Fraction ↔ Decimal conversion पर प्रश्न करें।
• Terminating और recurring decimals में अंतर समझें।
• Word problems में fraction का application करें।

📚 Chapter 7 Preparation Roadmap

📖 Fraction Concept
⬇
🔢 Simplification
⬇
⚖️ Comparison
⬇
➕➖✖️➗ Operations
⬇
🔄 Fraction Conversion
⬇
🔢 Decimal
⬇
🧠 Competitive Questions
⬇
🔄 Revision

🚀 अगला अध्याय

अध्याय-8: प्रतिशत

Percentage Concept • Fraction-Decimal Conversion • Increase-Decrease • Successive Percentage • Applications • Competitive Questions

📚 Sunil Learning Point

गणित की व्यवस्थित एवं Competitive Level तैयारी

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