गणित ✍️ अध्याय-13: अनुपात, समानुपात एवं साझेदारी (Full Notes)

📐 गणित — अध्याय 13

अनुपात, समानुपात एवं साझेदारी

Ratio • Proportion • Direct Proportion • Inverse Proportion • Partnership • Investment • Profit Sharing

📚 अध्याय परिचय
अनुपात, समानुपात और साझेदारी प्रतियोगी गणित के महत्वपूर्ण अध्याय हैं। इनसे जुड़े प्रश्नों में केवल ratio निकालना ही नहीं, बल्कि अनुपात को सरल करना, संयुक्त अनुपात, समानुपात, प्रत्यक्ष एवं व्युत्क्रमानुपात, आयु एवं धन से जुड़े अनुपात तथा साझेदारी में पूँजी और समय के आधार पर लाभ बाँटना पूछा जा सकता है।

इस अध्याय में basic concept से लेकर competitive level तक के प्रश्नों के लिए आवश्यक formulas, methods, shortcuts और solved examples दिए गए हैं।

📑 Table of Contents

1. अनुपात क्या है?
2. अनुपात की मूल बातें
3. अनुपात को सरल करना
4. समतुल्य अनुपात
5. संयुक्त अनुपात
6. अनुपात में संख्या ज्ञात करना
7. अनुपात में वृद्धि और कमी
8. अनुपात के अनुप्रयोग
9. समानुपात क्या है?
10. समानुपात के नियम
11. प्रत्यक्ष समानुपात
12. व्युत्क्रमानुपात
13. अनुपात और समानुपात के Competitive Questions
14. साझेदारी क्या है?
15. साझेदारी में लाभ का बँटवारा
16. समय के साथ साझेदारी
17. Competitive Level Solved Examples
18. Advanced Applications
19. Common Traps और Exam Strategy
20. One Liner Quick Revision

1️⃣ अनुपात क्या है?

दो समान प्रकार की राशियों की तुलना को अनुपात (Ratio) कहते हैं। अनुपात को सामान्यतः a : b के रूप में लिखा जाता है।

a : b = a/b

उदाहरण के लिए यदि एक कक्षा में लड़कों की संख्या 20 और लड़कियों की संख्या 30 है, तो लड़के : लड़कियाँ = 20 : 30 = 2 : 3.

ध्यान दें: अनुपात में तुलना की जा रही दोनों राशियों की इकाई समान होनी चाहिए।

2️⃣ अनुपात की मूल बातें

यदि a : b = 3 : 5 है, तो इसका अर्थ है कि पहली राशि के 3 भाग और दूसरी राशि के 5 भाग हैं।

Antecedent: अनुपात का पहला पद।
Consequent: अनुपात का दूसरा पद।

उदाहरण

7 : 11 में:

• Antecedent = 7
• Consequent = 11

मुख्य नियम: अनुपात के दोनों पदों को समान संख्या से गुणा या भाग करने पर अनुपात का मान नहीं बदलता।

3️⃣ अनुपात को सरल करना

अनुपात को सरल करने के लिए दोनों पदों को उनके HCF से विभाजित किया जाता है।

उदाहरण 1

24 : 36 को सरल करें।

HCF = 12
24 ÷ 12 : 36 ÷ 12
= 2 : 3

उदाहरण 2

45 : 60 को सरल करें।

45 ÷ 15 : 60 ÷ 15
= 3 : 4

Competitive Tip: बड़ी संख्याओं के ratio को जल्दी simplify करने के लिए पहले common factor पहचानें।

4️⃣ समतुल्य अनुपात

यदि अनुपात के दोनों पदों को समान संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो प्राप्त अनुपात equivalent ratio कहलाता है।

2 : 3 = 4 : 6 = 6 : 9 = 10 : 15

उदाहरण

यदि x : 12 = 3 : 4, तो x ज्ञात करें।

x/12 = 3/4
4x = 36
x = 9

5️⃣ संयुक्त अनुपात

दो या अधिक ratios को मिलाकर प्राप्त ratio को Compound Ratio कहते हैं।

यदि
a : b = 2 : 3
c : d = 4 : 5

तो compound ratio:
(a×c) : (b×d)
= 8 : 15

उदाहरण

यदि A : B = 3 : 4 और C : D = 5 : 6, तो compound ratio?

(3×5) : (4×6)
= 15 : 24 = 5 : 8

6️⃣ अनुपात में संख्या ज्ञात करना

यदि दो राशियों का ratio और उनका कुल योग दिया हो, तो प्रत्येक राशि निकाली जा सकती है।

उदाहरण

दो संख्याओं का अनुपात 3 : 5 है और उनका योग 64 है। संख्याएँ ज्ञात करें।

कुल भाग = 3 + 5 = 8
एक भाग = 64 ÷ 8 = 8
पहली संख्या = 3 × 8 = 24
दूसरी संख्या = 5 × 8 = 40

अंतर दिया हो

यदि ratio 3 : 5 और अंतर 16 है:

भागों का अंतर = 5 − 3 = 2
एक भाग = 16 ÷ 2 = 8
संख्याएँ = 24 और 40

7️⃣ अनुपात में वृद्धि और कमी

प्रतिशत वृद्धि या कमी के बाद दो राशियों के नए अनुपात को निकालने के लिए प्रत्येक राशि को उसके multiplier से बदलें।

उदाहरण

A : B = 3 : 4. यदि A में 20% वृद्धि और B में 25% वृद्धि हो, तो नया ratio?

A नया = 3 × 120/100 = 3.6
B नया = 4 × 125/100 = 5
नया ratio = 3.6 : 5
= 18 : 25

Exam Tip: अलग-अलग प्रतिशत परिवर्तन वाले प्रश्नों में दोनों राशियों पर अलग multiplier लगाएँ।

8️⃣ अनुपात के अनुप्रयोग

Ratio का प्रयोग अनेक प्रकार के competitive questions में होता है:

• आयु के प्रश्न
• धन का बँटवारा
• कुल और अंतर से संख्या ज्ञात करना
• लड़के और लड़कियों की संख्या
• वेतन और बचत
• दूरी और समय
• मिश्रण से जुड़े प्रश्न
• काम और दक्षता से जुड़े प्रश्न
• साझेदारी

उदाहरण: दो व्यक्तियों की आय का ratio 5 : 7 है और उनकी कुल आय ₹36,000 है।

कुल भाग = 12
एक भाग = 36,000 ÷ 12 = ₹3,000
आय = ₹15,000 और ₹21,000

9️⃣ समानुपात क्या है?

जब दो ratios बराबर होते हैं, तो उन्हें proportion या समानुपात कहते हैं।

a : b = c : d

इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

a/b = c/d

उदाहरण

2 : 3 = 8 : 12 एक समानुपात है क्योंकि दोनों ratios का मान समान है।

🔟 समानुपात के नियम

यदि:

a : b = c : d

तो:

ad = bc

इसे Cross Multiplication Rule कहा जाता है।

उदाहरण

3 : 5 = x : 20

3 × 20 = 5x
60 = 5x
x = 12

1️⃣1️⃣ प्रत्यक्ष समानुपात

जब एक राशि बढ़ने पर दूसरी राशि भी उसी अनुपात में बढ़ती है, तो उसे Direct Proportion कहते हैं।

x ∝ y

इस स्थिति में x/y का अनुपात स्थिर रहता है।

उदाहरण

5 किताबों की कीमत ₹400 है। 8 किताबों की कीमत कितनी होगी?

5 : 8 = 400 : x
5x = 3200
x = ₹640

अधिक किताबें → अधिक कीमत। इसलिए यह Direct Proportion है।

1️⃣2️⃣ व्युत्क्रमानुपात

जब एक राशि बढ़ती है और दूसरी उसी अनुपात में घटती है, तो इसे Inverse Proportion कहते हैं।

x ∝ 1/y

ऐसी स्थिति में x × y स्थिर रहता है।

उदाहरण

4 मजदूर किसी काम को 12 दिनों में करते हैं। समान दक्षता पर 6 मजदूर वही काम कितने दिनों में करेंगे?

मजदूर × दिन = स्थिर
4 × 12 = 6 × x
48 = 6x
x = 8 दिन

अधिक मजदूर → कम दिन। इसलिए यह Inverse Proportion है।

1️⃣3️⃣ अनुपात और समानुपात के Competitive Questions

प्रश्न 1: A : B = 4 : 7 और B : C = 14 : 15 हो, तो A : B : C?

पहले ratios में B को समान करें:
A : B = 8 : 14
B : C = 14 : 15
अतः A : B : C = 8 : 14 : 15.

प्रश्न 2: दो संख्याओं का ratio 7 : 9 है और उनका योग 128 है।

कुल भाग = 16
एक भाग = 8
संख्याएँ = 56 और 72.

प्रश्न 3: x : y = 5 : 8 और y : z = 4 : 7.

पहले y को समान करें:
x : y = 5 : 8
y : z = 4 : 7 = 8 : 14
अतः x : y : z = 5 : 8 : 14.

1️⃣4️⃣ साझेदारी क्या है?

जब दो या अधिक व्यक्ति किसी व्यवसाय में धन लगाते हैं और व्यवसाय से प्राप्त लाभ या हानि को निश्चित नियम के अनुसार बाँटते हैं, तो इसे Partnership कहते हैं।

साझेदारी में मुख्य रूप से दो चीजों का ध्यान रखा जाता है:

1. Investment / Capital
2. Time

यदि सभी साझेदारों ने समान समय के लिए पैसा लगाया है, तो लाभ का अनुपात उनकी पूँजी के अनुपात में होगा।

1️⃣5️⃣ साझेदारी में लाभ का बँटवारा

यदि सभी partners का investment और time दिया हो, तो लाभ का अनुपात:

Profit Ratio = Capital × Time

समान समय

A ने ₹20,000 और B ने ₹30,000 समान समय के लिए लगाए। लाभ का ratio?

20,000 : 30,000
= 2 : 3

यदि कुल लाभ ₹10,000 है:

A का लाभ = 10,000 × 2/5 = ₹4,000
B का लाभ = 10,000 × 3/5 = ₹6,000

1️⃣6️⃣ समय के साथ साझेदारी

यदि साझेदार अलग-अलग समय के लिए धन लगाते हैं, तो केवल capital नहीं बल्कि Capital × Time देखा जाता है।

उदाहरण

A ने ₹10,000 पूरे 12 महीने के लिए लगाए और B ने ₹15,000 8 महीने के लिए लगाए। लाभ का ratio?

A = 10,000 × 12 = 1,20,000
B = 15,000 × 8 = 1,20,000

लाभ का ratio = 1 : 1

अर्थात दोनों को बराबर लाभ मिलेगा।

Golden Rule: Partnership में profit share ∝ Capital × Time.

1️⃣7️⃣ Competitive Level Solved Examples

प्रश्न 1: A : B = 3 : 5 और कुल राशि ₹4,800 है। A का हिस्सा?

कुल भाग = 8
A = 4800 × 3/8
= ₹1,800

प्रश्न 2: A और B की आय का ratio 4 : 7 है। A की आय ₹16,000 है। B की आय?

4 भाग = ₹16,000
1 भाग = ₹4,000
7 भाग = ₹28,000

प्रश्न 3: 8 मजदूर कोई काम 15 दिन में करते हैं। 12 मजदूर वही काम कितने दिन में करेंगे?

8 × 15 = 12 × x
120 = 12x
x = 10 दिन

प्रश्न 4: A ने ₹12,000 को 10 महीने और B ने ₹15,000 को 8 महीने लगाया। लाभ ratio?

A = 12,000 × 10 = 1,20,000
B = 15,000 × 8 = 1,20,000
Ratio = 1 : 1

प्रश्न 5: A : B = 5 : 8. यदि A में 20% वृद्धि और B में 25% वृद्धि हो, तो नया ratio?

A = 5 × 1.20 = 6
B = 8 × 1.25 = 10
नया ratio = 3 : 5

1️⃣8️⃣ Advanced Applications

🔹 तीन राशियों का Ratio

यदि A : B और B : C दिए हों, तो B को समान बनाकर A : B : C निकाला जाता है।

🔹 Ratio और Percentage

यदि A : B = 3 : 5, तो A/B = 3/5 = 60%.

🔹 Ratio में प्रतिशत परिवर्तन

किसी ratio के दोनों terms में अलग-अलग percentage change होने पर प्रत्येक term को उसके संबंधित multiplier से बदलें।

🔹 Partnership

Profit Share ∝ Capital × Time

🔹 Direct और Inverse पहचानना

Direct: एक बढ़े → दूसरा भी बढ़े
Inverse: एक बढ़े → दूसरा घटे

1️⃣9️⃣ Common Traps और Exam Strategy

• Ratio की दोनों राशियों की units समान करें।
• Ratio को simplify करना न भूलें।
• Total और Difference वाले questions में parts का सही उपयोग करें।
• तीन राशियों के ratio में common middle term को समान करें।
• Direct और Inverse Proportion में अंतर पहचानें।
• Partnership में केवल capital नहीं, time भी देखें।
• लाभ का बँटवारा Capital × Time के आधार पर करें।
• Percentage change के बाद पुराने ratio को सीधे न रखें।

🎯 Exam Method:
Question पढ़ें → quantities पहचानें → ratio बनाएं → common terms मिलाएँ → condition लगाएँ → answer verify करें।

2️⃣0️⃣ One Liner Quick Revision

1. समान प्रकार की दो राशियों की तुलना Ratio कहलाती है।

2. Ratio को सामान्यतः a : b के रूप में लिखा जाता है।

3. Ratio के दोनों पदों को समान संख्या से गुणा करने पर ratio नहीं बदलता।

4. Compound Ratio में संबंधित antecedents और consequents को गुणा किया जाता है।

5. Proportion में दो ratios बराबर होते हैं।

6. a : b = c : d में ad = bc.

7. Direct Proportion में दोनों राशियाँ समान दिशा में बदलती हैं।

8. Inverse Proportion में एक राशि बढ़ने पर दूसरी घटती है।

9. Inverse Proportion में product स्थिर रहता है।

10. Partnership में लाभ का अनुपात Capital × Time से निर्धारित होता है।

11. समान समय पर partnership profit ratio = capital ratio.

🎯 Exam Important Points

• Ratio को तेजी से simplify करना सीखें।
• Total और Difference आधारित प्रश्नों का अभ्यास करें।
• तीन राशियों के ratio में middle term बराबर करना सीखें।
• Direct और Inverse Proportion पहचानना बहुत जरूरी है।
• Partnership में Capital × Time का नियम याद रखें।
• Percentage change वाले ratio questions का अभ्यास करें।
• Competitive exams में calculation speed बढ़ाएँ।

📚 Chapter 13 Preparation Roadmap

📐 Ratio
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🔢 Simplification
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🔗 Compound Ratio
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⚖️ Proportion
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📈 Direct Proportion
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📉 Inverse Proportion
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🤝 Partnership
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💰 Profit Sharing
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🎯 Competitive Practice
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🔄 Revision

🚀 अगला अध्याय

अध्याय-14: औसत एवं मिश्रण

Average • Weighted Average • Combined Average • Mixture • Alligation • Competitive Questions

📚 Sunil Learning Point

गणित की व्यवस्थित एवं Competitive Level तैयारी

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