गणित ✍️ अध्याय-14: औसत एवं मिश्रण (Full Notes)

📊 गणित — अध्याय 14

औसत एवं मिश्रण

Average • Weighted Average • Combined Average • Mixture • Alligation • Competitive Questions

📚 अध्याय परिचय
औसत और मिश्रण प्रतियोगी परीक्षाओं में बार-बार पूछे जाने वाले महत्वपूर्ण topics हैं। इस अध्याय में केवल सामान्य औसत ही नहीं, बल्कि Weighted Average, Combined Average, Missing Number, Average Change, Mixture और Alligation जैसे competitive concepts भी शामिल हैं।

प्रश्नों को हल करते समय केवल formula याद करने के बजाय यह समझना जरूरी है कि कुल मात्रा, कुल मान और इकाइयों का आपस में क्या संबंध है।

📑 Table of Contents

1. औसत क्या है?
2. औसत का मूल सूत्र
3. औसत से कुल योग ज्ञात करना
4. औसत से Missing Number ज्ञात करना
5. एक संख्या जोड़ने या हटाने पर औसत
6. औसत में वृद्धि और कमी
7. विभिन्न समूहों का Combined Average
8. Weighted Average
9. Average के अनुप्रयोग
10. मिश्रण क्या है?
11. मिश्रण में अनुपात
12. Alligation Method
13. Alligation से मात्रा का अनुपात
14. मिश्रण की कीमत और औसत मूल्य
15. Replacement वाले Mixture Questions
16. Competitive Level Solved Examples
17. Advanced Applications
18. Common Traps और गलतियाँ
19. Exam Strategy और Shortcuts
20. One Liner Quick Revision

1️⃣ औसत क्या है?

किसी समूह की सभी राशियों के योग को उन राशियों की कुल संख्या से भाग देने पर प्राप्त मान को औसत (Average) कहते हैं।

Average = कुल योग ÷ कुल संख्या

उदाहरण

10, 20, 30, 40 और 50 का औसत:

कुल योग = 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150
कुल संख्या = 5
Average = 150 ÷ 5
= 30

2️⃣ औसत का मूल सूत्र

Average = Sum of Observations / Number of Observations

यदि n संख्याओं का औसत A है, तो:

Total Sum = Average × Number

उदाहरण

8 विद्यार्थियों के अंकों का औसत 42 है। कुल अंक?

कुल अंक = 42 × 8
= 336

Golden Rule: Average × Number = Total.

3️⃣ औसत से कुल योग ज्ञात करना

जब average और observations की संख्या दी हो, तो total आसानी से निकाला जा सकता है।

उदाहरण

15 संख्याओं का औसत 24 है। उनका कुल योग?

Total = 24 × 15
= 360

Competitive Application

एक कक्षा के 25 विद्यार्थियों का औसत अंक 48 है। कुल प्राप्त अंक:

25 × 48 = 1200 अंक

4️⃣ औसत से Missing Number ज्ञात करना

यदि कुछ संख्याओं का average दिया हो और एक संख्या missing हो, तो पहले total sum निकालकर ज्ञात संख्याओं का योग घटाया जाता है।

उदाहरण

5 संख्याओं का औसत 18 है। चार संख्याएँ 12, 15, 20 और 25 हैं। पाँचवीं संख्या?

कुल योग = 18 × 5 = 90
ज्ञात योग = 12 + 15 + 20 + 25 = 72
Missing Number = 90 − 72
= 18

5️⃣ एक संख्या जोड़ने या हटाने पर औसत

यदि किसी समूह में नई संख्या जोड़ी जाए या कोई संख्या हटा दी जाए, तो नए total और नई संख्या के आधार पर average निकाला जाता है।

नई संख्या जोड़ना

10 संख्याओं का औसत 20 है। एक नई संख्या 35 जोड़ी गई। नया औसत?

पुराना योग = 10 × 20 = 200
नया योग = 200 + 35 = 235
नई संख्या = 11
नया Average = 235 ÷ 11
= 21 4/11

एक संख्या हटाना

ऐसे प्रश्नों में पहले पुराना total निकालें, फिर हटाई गई संख्या घटाएँ और नई संख्या से divide करें।

6️⃣ औसत में वृद्धि और कमी

यदि किसी समूह में प्रत्येक संख्या में समान मात्रा जोड़ी या घटाई जाए, तो average भी उतनी ही मात्रा से बदलता है।

उदाहरण

5 संख्याओं का average 28 है। प्रत्येक संख्या में 4 जोड़ दिया जाए। नया average?

प्रत्येक संख्या में 4 की वृद्धि हुई।
इसलिए average में भी 4 की वृद्धि होगी।
नया Average = 32

इसी प्रकार प्रत्येक संख्या से 3 घटाने पर average भी 3 घट जाएगा।

Shortcut: सभी observations में समान परिवर्तन → Average में भी वही परिवर्तन।

7️⃣ विभिन्न समूहों का Combined Average

दो या अधिक groups के averages को सीधे जोड़कर average नहीं निकाला जाता। प्रत्येक group का total पहले निकालना होता है।

Combined Average = Total of all groups ÷ Total number of observations

उदाहरण

20 विद्यार्थियों का औसत 40 और 30 विद्यार्थियों का औसत 50 है। दोनों समूहों का संयुक्त औसत?

पहले समूह का कुल = 20 × 40 = 800
दूसरे समूह का कुल = 30 × 50 = 1500
कुल = 2300
विद्यार्थी = 50
Combined Average = 2300 ÷ 50
= 46

8️⃣ Weighted Average

जब अलग-अलग राशियों या समूहों का महत्व/weight समान न हो, तब weighted average का उपयोग किया जाता है।

Weighted Average = Σ(Value × Weight) ÷ ΣWeight

उदाहरण

किसी विद्यार्थी को एक परीक्षा में 80 अंक का weight 2 और दूसरी परीक्षा में 70 अंक का weight 3 मिला। Weighted average:

= (80×2 + 70×3) ÷ (2+3)
= (160 + 210) ÷ 5
= 370 ÷ 5
= 74

9️⃣ Average के अनुप्रयोग

औसत से जुड़े प्रश्न कई अलग-अलग परिस्थितियों में पूछे जाते हैं:

• विद्यार्थियों के अंक
• आयु
• वेतन
• दैनिक खर्च
• दूरी और गति के आँकड़े
• क्रिकेट/खेल के आँकड़े
• विभिन्न समूहों का संयुक्त औसत
• Missing Value
• Average में वृद्धि या कमी
• Weighted Average

Exam Focus: प्रश्न में “average”, “mean”, “total”, “number of persons” और “combined average” जैसे शब्दों को ध्यान से पहचानें।

🔟 मिश्रण क्या है?

जब दो या अधिक अलग-अलग पदार्थों को एक साथ मिलाया जाता है, तो प्राप्त पदार्थों के समूह को Mixture (मिश्रण) कहते हैं।

प्रतियोगी गणित में मिश्रण के प्रश्न प्रायः वस्तुओं की मात्रा, कीमत, प्रतिशत या गुणवत्ता के आधार पर पूछे जाते हैं।

उदाहरण:
सस्ती और महँगी वस्तु को मिलाकर एक ऐसी mixture तैयार करना जिसकी औसत कीमत निर्धारित हो।

मुख्य विचार: Mixture questions में अलग-अलग components और उनके proportions के बीच संबंध बनाया जाता है।

1️⃣1️⃣ मिश्रण में अनुपात

यदि दो पदार्थों को किसी निश्चित ratio में मिलाया जाता है, तो कुल मिश्रण को उसी ratio के parts में बाँटा जा सकता है।

उदाहरण

दूध और पानी को 3 : 2 के अनुपात में मिलाया गया। कुल mixture 25 लीटर है। दूध और पानी की मात्रा?

कुल भाग = 3 + 2 = 5
एक भाग = 25 ÷ 5 = 5 लीटर
दूध = 3 × 5 = 15 लीटर
पानी = 2 × 5 = 10 लीटर

1️⃣2️⃣ Alligation Method

जब दो अलग-अलग कीमत या concentration वाली वस्तुओं को मिलाकर एक निश्चित mean price या concentration प्राप्त करना हो, तब Alligation बहुत उपयोगी method है।

सस्ती मात्रा : महँगी मात्रा

= (महँगी कीमत − Mean कीमत) : (Mean कीमत − सस्ती कीमत)

उदाहरण

₹20 और ₹30 प्रति किलोग्राम वाली वस्तुओं को मिलाकर ₹24 प्रति किलोग्राम का mixture बनाना है। दोनों की मात्रा का ratio?

सस्ती : महँगी
= (30 − 24) : (24 − 20)
= 6 : 4
= 3 : 2

1️⃣3️⃣ Alligation से मात्रा का अनुपात

Alligation में Mean value हमेशा दोनों extreme values के बीच होनी चाहिए।

Low Value → Mean → High Value

उदाहरण

₹40 और ₹60 वाली वस्तुओं को मिलाकर ₹48 का mixture बनाना है। Ratio?

सस्ती : महँगी
= (60 − 48) : (48 − 40)
= 12 : 8
= 3 : 2

Check: ₹48, ₹40 और ₹60 के बीच है, इसलिए mixture संभव है।

1️⃣4️⃣ मिश्रण की कीमत और औसत मूल्य

यदि अलग-अलग कीमत वाली वस्तुओं की quantities दी हों, तो mixture की average price निकालने के लिए total cost को total quantity से divide किया जाता है।

Average Price = Total Cost ÷ Total Quantity

उदाहरण

₹20/kg की 3 kg वस्तु और ₹30/kg की 2 kg वस्तु मिलाई गई। Average price?

कुल लागत = 3×20 + 2×30
= 60 + 60 = ₹120
कुल मात्रा = 5 kg
Average price = 120 ÷ 5
= ₹24/kg

1️⃣5️⃣ Replacement वाले Mixture Questions

कुछ competitive questions में mixture का कुछ भाग निकालकर उसकी जगह दूसरा पदार्थ डाला जाता है। ऐसे प्रश्नों में कुल मात्रा और निकाली गई मात्रा का ध्यान रखना जरूरी है।

Basic Process:
1. कुल मात्रा निर्धारित करें।
2. निकाली गई मात्रा पहचानें।
3. बची हुई मात्रा निकालें।
4. नया पदार्थ जोड़ें।
5. नई composition निकालें।

ध्यान दें: Replacement questions में हर चरण के बाद mixture की composition बदल सकती है, इसलिए पुराने ratio को बिना जाँच के सीधे इस्तेमाल न करें।

1️⃣6️⃣ Competitive Level Solved Examples

प्रश्न 1: 8 संख्याओं का औसत 25 है। कुल योग?

Total = 8 × 25
= 200

प्रश्न 2: 6 संख्याओं का औसत 18 है। पाँच संख्याओं का योग 80 है। छठी संख्या?

कुल योग = 6 × 18 = 108
छठी संख्या = 108 − 80
= 28

प्रश्न 3: 20 विद्यार्थियों का average 45 और 30 विद्यार्थियों का average 55 है। Combined average?

कुल = 20×45 + 30×55
= 900 + 1650 = 2550
कुल विद्यार्थी = 50
Average = 51

प्रश्न 4: ₹20 और ₹30 की वस्तुओं को किस ratio में मिलाएँ कि mixture ₹24/kg हो?

Ratio = (30−24):(24−20)
= 6:4
= 3:2

प्रश्न 5: ₹40 और ₹70 की वस्तुओं को 2:3 के ratio में मिलाया गया। Average price?

कुल लागत = 40×2 + 70×3
= 80 + 210 = 290
कुल parts = 5
Average = ₹58

1️⃣7️⃣ Advanced Applications

🔹 Average Change Formula

यदि n observations का average A है और एक value x से बदलकर y कर दी जाती है:

New Average = A + (y − x)/n

🔹 Combined Average

अलग-अलग समूहों के averages को group sizes के साथ weight देकर combined average निकाला जाता है।

🔹 Weighted Average

जहाँ quantities या weights अलग हों, simple average की जगह weighted average आवश्यक हो सकता है।

🔹 Alligation का मूल नियम

Mean value दोनों extreme values के बीच होनी चाहिए।

🔹 Mixture Price

Mixture की average price = कुल लागत ÷ कुल मात्रा।

1️⃣8️⃣ Common Traps और गलतियाँ

• Average को केवल values जोड़कर छोड़ देना।
• Total निकालते समय Average × Number न करना।
• Combined average में दोनों averages को सीधे जोड़कर divide करना।
• Group sizes को ignore करना।
• Alligation में mean और extreme values की position गलत रखना।
• सस्ती और महँगी मात्रा का ratio उल्टा करना।
• Mixture में total quantity को गलत लेना।
• Replacement questions में प्रत्येक चरण के बाद नई composition को ignore करना।
• Units को समान किए बिना average निकालना।

⚠️ याद रखें: Average हमेशा total और number of observations के संबंध से बनता है; और mixture में average value weighted contribution पर निर्भर करती है।

1️⃣9️⃣ Exam Strategy और Shortcuts

Shortcut 1: Average × Number = Total.

Shortcut 2: Missing value = Required total − Known total.

Shortcut 3: Combined Average में प्रत्येक group का Total अलग निकालें।

Shortcut 4: समान परिवर्तन सभी values में हो तो average में भी वही परिवर्तन होगा।

Shortcut 5: Alligation में cross-difference method अपनाएँ।

Shortcut 6: Mixture का average price = Total Cost ÷ Total Quantity.

🎯 Exam Method:
Question पढ़ें → Total/Quantity पहचानें → सही average formula लगाएँ → group size या weight देखें → answer verify करें।

2️⃣0️⃣ One Liner Quick Revision

1. Average = Total Sum ÷ Number of Observations.

2. Total = Average × Number.

3. Missing value = Required Total − Known Total.

4. सभी values में समान वृद्धि होने पर average में भी उतनी ही वृद्धि होती है।

5. Combined Average में group size महत्वपूर्ण होता है।

6. Weighted Average में values के साथ weights का उपयोग होता है।

7. Mixture दो या अधिक पदार्थों का संयोजन है।

8. Mixture की average price = Total Cost ÷ Total Quantity.

9. Alligation दो extreme values को mean value से जोड़ने की विधि है।

10. Alligation में mean value दोनों extreme values के बीच होनी चाहिए।

11. Replacement वाले mixture questions में प्रत्येक चरण के बाद composition बदल सकती है।

🎯 Exam Important Points

• Average और Total का संबंध पक्का करें।
• Missing Number वाले प्रश्नों का अभ्यास करें।
• Combined Average में group size को कभी ignore न करें।
• Weighted Average को समझें।
• Alligation में cross-difference method का अभ्यास करें।
• Mixture में quantity और price का संबंध समझें।
• Replacement वाले questions में हर चरण सावधानी से हल करें।
• Competitive questions में calculation speed पर ध्यान दें।

📚 Chapter 14 Preparation Roadmap

📊 Average
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🧮 Total & Missing Value
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📈 Average Change
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👥 Combined Average
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⚖️ Weighted Average
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🥛 Mixture
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🔀 Alligation
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🔄 Replacement
⬇
🎯 Competitive Practice
⬇
🔄 Final Revision

🚀 अगला अध्याय

अध्याय-15: समय, कार्य एवं पाइप-टंकी

Time & Work • Efficiency • Work Units • Men-Days • Pipes & Cisterns • Inlet • Outlet • Competitive Questions

📚 Sunil Learning Point

गणित की व्यवस्थित एवं Competitive Level तैयारी

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