गणित ✍️ अध्याय-10: औसत (Full Notes)

📊 गणित — अध्याय 10

औसत (Average)

Average • Mean • Combined Average • Weighted Average • Missing Value • Replacement • Competitive Questions

📚 अध्याय परिचय
औसत गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। प्रतियोगी परीक्षाओं में Average के प्रश्न केवल कुछ संख्याओं का औसत निकालने तक सीमित नहीं रहते। इसमें विद्यार्थियों के अंक, आयु, वेतन, रन, उत्पादन, समूहों का संयुक्त औसत, किसी संख्या के बदलने पर नया औसत तथा Missing Value जैसे प्रश्न भी पूछे जा सकते हैं।

इस अध्याय में Average को concept से लेकर competitive application तक व्यवस्थित रूप से समझाया गया है।

📑 Table of Contents

1. औसत क्या है?
2. औसत का मूल सूत्र
3. दिए गए Average से कुल योग
4. अज्ञात संख्या ज्ञात करना
5. लगातार संख्याओं का औसत
6. पहली और अंतिम संख्या से Average
7. Average में नई संख्या जोड़ना
8. Average से संख्या हटाना
9. Replacement और Average
10. Combined Average
11. Weighted Average
12. औसत आयु के प्रश्न
13. औसत अंक और परीक्षा आधारित प्रश्न
14. औसत वेतन और आय आधारित प्रश्न
15. Average में परिवर्तन का Shortcut
16. Competitive Level Solved Examples
17. Average के Advanced Applications
18. Common Traps और गलतियाँ
19. Exam Strategy और Short Tricks
20. One Liner Quick Revision

1️⃣ औसत क्या है?

किसी समूह की सभी राशियों के योग को उन राशियों की कुल संख्या से भाग देने पर प्राप्त मान को औसत (Average) कहते हैं।

औसत = कुल योग ÷ कुल पदों की संख्या

उदाहरण

10, 20 और 30 का औसत:

कुल योग = 10 + 20 + 30 = 60
कुल पद = 3
औसत = 60 ÷ 3
= 20

ध्यान दें: Average हमेशा दिए गए सभी values के total और उनकी संख्या पर निर्भर करता है।

2️⃣ औसत का मूल सूत्र

Average = Sum of observations / Number of observations

यदि n संख्याओं का औसत A है, तो:

कुल योग = Average × Number of observations

उदाहरण

8 संख्याओं का औसत 15 है। उनका कुल योग:

कुल योग = 15 × 8
= 120

याद रखने का तरीका

Average × Number = Total
Total ÷ Number = Average

3️⃣ दिए गए Average से कुल योग

यदि average और observations की संख्या दी हो, तो total सीधे निकाला जा सकता है।

उदाहरण 1

12 विद्यार्थियों के अंकों का औसत 48 है। कुल अंक?

कुल अंक = 48 × 12
= 576

उदाहरण 2

25 दिनों की औसत बिक्री ₹4,000 है। कुल बिक्री?

4000 × 25
= ₹1,00,000

Competitive Tip: जब Average दिया हो, तो बार-बार individual values निकालने की आवश्यकता नहीं होती। पहले Total = Average × Number लगाएँ।

4️⃣ अज्ञात संख्या ज्ञात करना

यदि कुछ numbers और उनका average दिया हो, तो पहले required total निकालकर missing number प्राप्त की जा सकती है।

उदाहरण

5 संख्याओं का औसत 24 है। उनमें चार संख्याएँ 15, 20, 25 और 30 हैं। पाँचवीं संख्या?

कुल योग = 24 × 5 = 120
ज्ञात संख्याओं का योग = 15 + 20 + 25 + 30 = 90
पाँचवीं संख्या = 120 − 90
= 30

मुख्य तरीका

Required Total − Known Total = Missing Value

5️⃣ लगातार संख्याओं का औसत

यदि संख्याएँ लगातार क्रम में हों, तो उनका average निकालना बहुत आसान हो सकता है।

उदाहरण

21, 22, 23, 24 और 25 का औसत:

Average = (21 + 25) ÷ 2
= 23

क्योंकि समान अंतर वाली विषम संख्या वाली श्रृंखला में middle term ही average होता है।

एक और उदाहरण

11 से 19 तक की सभी पूर्ण संख्याओं का औसत:

(11 + 19) ÷ 2
= 15

Exam Tip: Consecutive numbers में पूरा sum करने के बजाय first और last value से average निकालना तेज हो सकता है।

6️⃣ पहली और अंतिम संख्या से Average

समान अंतर वाली arithmetic sequence में first term और last term का average पूरी sequence का average होता है।

Average = (First Term + Last Term) ÷ 2

उदाहरण

15, 20, 25, 30, 35, 40 का औसत:

(15 + 40) ÷ 2
= 27.5

यहाँ terms की संख्या सम है, फिर भी first और last का average काम करता है क्योंकि sequence में समान अंतर है।

7️⃣ Average में नई संख्या जोड़ना

जब किसी समूह में नई संख्या जोड़ी जाती है, तो नया total और नया number of observations दोनों बदलते हैं।

उदाहरण

5 संख्याओं का average 20 है। एक नई संख्या 32 जोड़ी गई। नया average?

पुराना Total = 5 × 20 = 100
नया Total = 100 + 32 = 132
नई संख्या = 6
नया Average = 132 ÷ 6
= 22

महत्वपूर्ण: नई संख्या average से अधिक है, इसलिए average बढ़ता है।

8️⃣ Average से संख्या हटाना

यदि किसी समूह से एक संख्या हटाई जाए, तो पहले पुराने total को निकालें और फिर हटाई गई संख्या को subtract करें।

उदाहरण

6 संख्याओं का औसत 25 है। इनमें से 30 को हटा दिया गया। नया average?

पुराना Total = 6 × 25 = 150
नया Total = 150 − 30 = 120
नई संख्या = 5
नया Average = 120 ÷ 5
= 24

हटाई गई संख्या पुराने average से अधिक थी, इसलिए नया average घट गया।

9️⃣ Replacement और Average

जब किसी group में एक value को दूसरी value से replace किया जाता है, तो average में परिवर्तन केवल दोनों values के अंतर पर निर्भर करता है।

मुख्य सूत्र

Average में परिवर्तन = (नई संख्या − पुरानी संख्या) ÷ कुल संख्या

उदाहरण

20 विद्यार्थियों का average 45 है। एक विद्यार्थी के 35 अंक के स्थान पर 55 अंक हो गए। नया average?

अंकों में वृद्धि = 55 − 35 = 20
Average में वृद्धि = 20 ÷ 20 = 1
नया Average = 45 + 1
= 46

Shortcut: Replacement questions में पूरे पुराने total को निकालना हमेशा जरूरी नहीं होता।

🔟 Combined Average

दो या अधिक अलग-अलग groups को मिलाकर average निकालने को Combined Average कहते हैं।

मुख्य सूत्र

Combined Average = Total of all groups ÷ Total number of observations

उदाहरण

20 विद्यार्थियों का average 60 और 30 विद्यार्थियों का average 70 है। दोनों groups का combined average?

पहले group का Total = 20 × 60 = 1200
दूसरे group का Total = 30 × 70 = 2100
कुल Total = 3300
कुल विद्यार्थी = 50
Combined Average = 3300 ÷ 50
= 66

⚠️ Trap: दो groups के averages का simple average तभी लें जब दोनों groups में observations की संख्या समान हो।

1️⃣1️⃣ Weighted Average

जब अलग-अलग values का महत्व या quantity समान न हो, तो simple average के बजाय weighted average की आवश्यकता हो सकती है।

Weighted Average = Σ(Value × Weight) ÷ ΣWeight

उदाहरण

किसी विद्यार्थी के दो components में 70 अंक का weight 2 और 80 अंक का weight 3 है। Weighted average?

(70 × 2 + 80 × 3) ÷ (2 + 3)
= (140 + 240) ÷ 5
= 380 ÷ 5
= 76

Exam Focus: Weight अधिक होने पर संबंधित value का प्रभाव भी अधिक होता है।

1️⃣2️⃣ औसत आयु के प्रश्न

Age-based Average questions में Total Age = Average Age × Number of Persons का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण

8 विद्यार्थियों की औसत आयु 14 वर्ष है। उनकी कुल आयु?

Total Age = 8 × 14
= 112 वर्ष

दो groups की Average Age

10 बच्चों की average age 12 वर्ष और 15 बच्चों की average age 16 वर्ष है। Combined average age?

पहला Total = 10 × 12 = 120
दूसरा Total = 15 × 16 = 240
कुल = 360
कुल बच्चे = 25
Average = 360 ÷ 25
= 14.4 वर्ष

1️⃣3️⃣ औसत अंक और परीक्षा आधारित प्रश्न

उदाहरण 1

10 परीक्षाओं में एक विद्यार्थी के औसत अंक 72 हैं। कुल अंक?

72 × 10 = 720

उदाहरण 2

6 subjects में average marks 65 हैं। पाँच subjects के marks 60, 70, 55, 75 और 65 हैं। छठे subject के marks?

Required Total = 6 × 65 = 390
Known Total = 60 + 70 + 55 + 75 + 65 = 325
Missing Marks = 390 − 325
= 65

Exam Application

यदि average marks बढ़ाने हों, तो नए marks पुराने average से कितने अधिक हैं, यह पहचानना उपयोगी होता है।

1️⃣4️⃣ औसत वेतन और आय आधारित प्रश्न

उदाहरण

12 कर्मचारियों का औसत वेतन ₹18,000 है। कुल वेतन?

18,000 × 12
= ₹2,16,000

एक नया कर्मचारी जोड़ने पर

12 कर्मचारियों का average salary ₹18,000 है। ₹24,000 वेतन वाला कर्मचारी जुड़ता है। नया average salary?

पुराना Total = 18,000 × 12 = ₹2,16,000
नया Total = ₹2,16,000 + ₹24,000 = ₹2,40,000
कुल कर्मचारी = 13
नया Average = 2,40,000 ÷ 13
≈ ₹18,461.54

ध्यान दें: Average salary का answer आवश्यक रूप से पूर्ण संख्या नहीं होता।

1️⃣5️⃣ Average में परिवर्तन का Shortcut

यदि n observations का average A है और किसी एक observation को x से बदलकर y कर दिया जाए, तो:

New Average = Old Average + (y − x)/n

उदाहरण

25 विद्यार्थियों का average 48 है। एक विद्यार्थी के 40 अंक की जगह 65 अंक हो जाते हैं। नया average?

Difference = 65 − 40 = 25
Average Increase = 25/25 = 1
New Average = 48 + 1
= 49

दूसरा Shortcut

यदि सभी values में समान संख्या k जोड़ दी जाए, तो average भी k से बढ़ता है।

10, 20, 30 का average = 20
हर संख्या में 5 जोड़ें → 15, 25, 35
नया average = 25

इसी प्रकार सभी values में k घटाने पर average भी k घटता है।

1️⃣6️⃣ Competitive Level Solved Examples

प्रश्न 1: 7 संख्याओं का average 18 है। उनका total क्या होगा?

18 × 7 = 126

प्रश्न 2: 5 संख्याओं का average 24 है। चार संख्याएँ 18, 22, 25 और 30 हैं। पाँचवीं संख्या?

Total = 5 × 24 = 120
Known Total = 95
Missing = 120 − 95
= 25

प्रश्न 3: 15 विद्यार्थियों का average 52 है और 25 विद्यार्थियों का average 68 है। Combined average?

Total = 15 × 52 + 25 × 68
= 780 + 1700 = 2480
कुल विद्यार्थी = 40
Combined Average = 2480/40
= 62

प्रश्न 4: 20 values का average 35 है। एक value 25 की जगह 45 हो जाती है। नया average?

Increase = 20
Average increase = 20/20 = 1
New Average = 36

प्रश्न 5: 9 लगातार पूर्ण संख्याओं का average 35 है। सबसे छोटी संख्या?

9 लगातार संख्याओं में middle number average होगा।
Middle = 35
4 numbers पहले = 35 − 4
सबसे छोटी संख्या = 31

प्रश्न 6: 8 व्यक्तियों की average age 25 वर्ष है। एक नया व्यक्ति जुड़ने पर average 26 वर्ष हो जाता है। नए व्यक्ति की आयु?

पुरानी कुल आयु = 8 × 25 = 200
नई कुल आयु = 9 × 26 = 234
नए व्यक्ति की आयु = 234 − 200
= 34 वर्ष

1️⃣7️⃣ Average के Advanced Applications

🔹 Combined Groups

अलग-अलग groups के average को combine करते समय प्रत्येक group की संख्या को weight के रूप में लेना जरूरी है।

🔹 Replacement

Replacement में केवल old और new values के अंतर से average change निकाला जा सकता है।

🔹 Consecutive Numbers

Arithmetic progression में first और last term से average निकाला जा सकता है।

🔹 Equal Addition/Subtraction

हर observation में समान value जोड़ने या घटाने पर average भी उतनी ही मात्रा में बदलता है।

🔹 Equal Multiplication

हर observation को किसी समान factor से multiply करने पर average भी उसी factor से multiply होता है।

SuperTET Focus: कठिन Average questions में सबसे पहले Total को identify करना सीखें। Average के पीछे हमेशा Total और Number of observations का संबंध होता है।

1️⃣8️⃣ Common Traps और गलतियाँ

• Average को Total समझ लेना।
• Combined Average में दोनों averages का simple average कर देना, जबकि group sizes अलग हों।
• Replacement question में total observations की संख्या गलत लेना।
• Missing value निकालते समय required total भूल जाना।
• Age questions में persons की संख्या गलत लेना।
• Consecutive numbers में sequence की समान दूरी की condition ignore करना।
• Average में change को सीधे old value में जोड़ देना।
• Weighted average में weights को ignore करना।

⚠️ Exam Alert: Average question देखते ही तीन चीजें पहचानें — Total, Number of observations और Average।

1️⃣9️⃣ Exam Strategy और Short Tricks

🔹 Trick 1 — Total

Total = Average × Number

🔹 Trick 2 — Missing Value

Missing = Required Total − Known Total

🔹 Trick 3 — Replacement

New Average = Old Average + Difference/Number

🔹 Trick 4 — Combined Average

पहले प्रत्येक group का Total निकालें, फिर सभी Total जोड़ें और कुल observations से divide करें।

🔹 Trick 5 — Consecutive Numbers

समान अंतर वाली sequence में:
Average = (First + Last) ÷ 2

🔹 Trick 6 — सभी values में समान बदलाव

हर value में +k → Average में +k
हर value में −k → Average में −k
हर value को ×k → Average भी ×k

🎯 Competitive Approach:
Question पढ़ें → observations की संख्या पहचानें → Average से Total निकालें → change/replacement apply करें → नया Average निकालें।

2️⃣0️⃣ One Liner Quick Revision

1. Average = Total ÷ Number of observations.

2. Total = Average × Number of observations.

3. Missing value = Required Total − Known Total.

4. समान अंतर वाली sequence में Average = (First + Last) ÷ 2.

5. नई संख्या जोड़ने पर Total और observations दोनों बदलते हैं।

6. संख्या हटाने पर पुराना Total से वह संख्या घटाई जाती है।

7. Replacement में average change = value difference ÷ number.

8. Combined average में प्रत्येक group का size महत्वपूर्ण है।

9. Weighted average में weights को शामिल किया जाता है।

10. सभी values में समान संख्या जोड़ने पर average भी उतना ही बढ़ता है।

11. Average questions में Total और Number of observations सबसे महत्वपूर्ण quantities हैं।

🎯 Exam Important Points

• Average और Total का संबंध अच्छी तरह समझें।
• Missing value questions का अभ्यास करें।
• Consecutive numbers के Average पर ध्यान दें।
• नई संख्या जोड़ने और हटाने वाले प्रश्न करें।
• Replacement-based Average questions सीखें।
• Combined Average में group size को ध्यान में रखें।
• Weighted Average का concept समझें।
• Age और Marks based questions का अभ्यास करें।
• Salary और income based questions हल करें।
• Shortcut से पहले concept को सही समझें।

📚 Chapter 10 Preparation Roadmap

📊 Average Concept
⬇
➕ Total & Missing Value
⬇
🔢 Consecutive Numbers
⬇
🔄 Addition / Removal
⬇
♻️ Replacement
⬇
👥 Combined Average
⬇
⚖️ Weighted Average
⬇
🧠 Competitive Applications
⬇
🔄 Final Revision

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अध्याय-11: लाभ, हानि एवं छूट

Profit & Loss • Cost Price • Selling Price • Marked Price • Discount • Successive Discount • Profit-Loss Percentage • Competitive Questions

📚 Sunil Learning Point

गणित की व्यवस्थित एवं Competitive Level तैयारी

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