गणित ✍️ अध्याय-4: विभाज्यता के नियम (Full Notes)

📐 गणित — अध्याय 4

विभाज्यता के नियम

Divisibility Rules • Factors • Multiples • Remainder • Missing Digit

🎯 प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए Concept + Trick + Practice

📚 अध्याय का परिचय

विभाज्यता गणित के उन महत्वपूर्ण topics में से है जिनका प्रयोग Factors, Multiples, HCF, LCM, Remainder, Prime Numbers और Number System से जुड़े प्रश्नों में लगातार होता है। केवल नियम याद करना पर्याप्त नहीं है; यह समझना भी जरूरी है कि किसी संख्या पर कौन-सा divisibility test लगाया जाए।

प्रतियोगी परीक्षाओं में सीधे divisibility questions के साथ-साथ missing digit, smallest/largest number, digit formation, remainder, factor identification और multiple conditions वाले प्रश्न भी पूछे जा सकते हैं।

इस अध्याय में basic rules से आगे बढ़कर exam-oriented application और calculation approach पर ध्यान दिया गया है।

📑 विषय-सूची

1. विभाज्यता क्या है?
2. भाजक, गुणज और गुणनखंड
3. 2 से विभाज्यता
4. 3 से विभाज्यता
5. 4 से विभाज्यता
6. 5 और 10 से विभाज्यता
7. 6 से विभाज्यता
8. 8 से विभाज्यता
9. 9 से विभाज्यता
10. 11 से विभाज्यता
11. 12, 15, 18 और 20 से विभाज्यता
12. विभाज्यता और अभाज्य गुणनखंड
13. शेषफल और विभाज्यता का संबंध
14. Missing Digit Questions
15. Smallest और Largest Number Questions
16. Multiple Divisibility Conditions
17. Competitive Level Solved Examples
18. Common Traps और गलतियाँ
19. Exam Strategy और Short Approach
20. One Liner Quick Revision

1️⃣ विभाज्यता क्या है?

यदि कोई संख्या दूसरी संख्या से भाग देने पर शेषफल 0 देती है, तो पहली संख्या दूसरी संख्या से विभाज्य कहलाती है।

उदाहरण:

24 ÷ 6 = 4, शेषफल 0
इसलिए 24, 6 से विभाज्य है।

लेकिन:
25 ÷ 6 = 4 शेष 1
इसलिए 25, 6 से विभाज्य नहीं है।

सामान्य रूप में यदि a को b से भाग देने पर शेषफल 0 हो, तो b, a का एक भाजक (divisor/factor) है।

2️⃣ भाजक, गुणज और गुणनखंड

किसी संख्या को बिना शेष के विभाजित करने वाली संख्याएँ उसके factors या गुणनखंड कहलाती हैं।

उदाहरण: 24 के गुणनखंड

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

24 के multiples हैं:

24, 48, 72, 96, 120, ...

याद रखें:
Factor संख्या को पूरा divide करता है, जबकि multiple किसी संख्या को पूर्णांक से गुणा करने पर प्राप्त होता है।

3️⃣ 2 से विभाज्यता

कोई संख्या 2 से विभाज्य है यदि उसका अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 हो।

246 → ✓

735 → ✗

1,248 → ✓

अर्थात् 2 की divisibility जाँचने के लिए पूरी संख्या का calculation करने की जरूरत नहीं होती; केवल अंतिम digit देखना पर्याप्त है।

4️⃣ 3 से विभाज्यता

किसी संख्या के अंकों का योग यदि 3 से विभाज्य है, तो वह संख्या 3 से विभाज्य होगी।

उदाहरण:

4,572
अंकों का योग = 4 + 5 + 7 + 2 = 18
18, 3 से विभाज्य है।
अतः 4,572 भी 3 से विभाज्य है।

महत्वपूर्ण: केवल digits का sum देखकर 3 की divisibility जाँची जाती है।

5️⃣ 4 से विभाज्यता

किसी पूर्ण संख्या की अंतिम दो digits से बनी संख्या यदि 4 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 4 से विभाज्य होगी।

उदाहरण:

7,316 → अंतिम दो अंक = 16
16 ÷ 4 = 4
अतः 7,316, 4 से विभाज्य है।

दूसरा उदाहरण:

5,742 → अंतिम दो अंक = 42
42, 4 से विभाज्य नहीं है।
अतः 5,742, 4 से विभाज्य नहीं है।

6️⃣ 5 और 10 से विभाज्यता

5 से विभाज्यता

किसी संख्या का अंतिम अंक 0 या 5 हो तो वह 5 से विभाज्य है।

125 ✓    430 ✓    127 ✗

10 से विभाज्यता

किसी संख्या का अंतिम अंक 0 हो तो वह 10 से विभाज्य है।

2,340 ✓    8,721 ✗

7️⃣ 6 से विभाज्यता

किसी संख्या के 6 से विभाज्य होने के लिए वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।

उदाहरण: 1,326

अंतिम अंक 6 है → 2 से विभाज्य।
अंकों का योग = 1 + 3 + 2 + 6 = 12 → 3 से विभाज्य।
अतः 1,326, 6 से विभाज्य है।

Exam Point: केवल even होना पर्याप्त नहीं है; 6 के लिए 3 की condition भी पूरी होनी चाहिए।

8️⃣ 8 से विभाज्यता

किसी संख्या की अंतिम तीन digits से बनी संख्या यदि 8 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 8 से विभाज्य होगी।

उदाहरण:

15,624
अंतिम तीन अंक = 624
624 ÷ 8 = 78
अतः 15,624, 8 से विभाज्य है।

ध्यान दें: 8 के लिए अंतिम तीन digits देखें, जबकि 4 के लिए अंतिम दो digits पर्याप्त हैं।

9️⃣ 9 से विभाज्यता

किसी संख्या के सभी अंकों का योग यदि 9 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 9 से विभाज्य होगी।

उदाहरण:

72,954
7 + 2 + 9 + 5 + 4 = 27
27, 9 से विभाज्य है।
अतः 72,954 भी 9 से विभाज्य है।

3 और 9 का अंतर:
3 के लिए digit sum का 3 से विभाज्य होना पर्याप्त है।
9 के लिए digit sum का 9 से विभाज्य होना आवश्यक है।

🔟 11 से विभाज्यता

11 की divisibility जाँचने के लिए वैकल्पिक स्थानों के अंकों के योग का अंतर लिया जाता है। यदि यह अंतर 0 या 11 का गुणज हो, तो संख्या 11 से विभाज्य होती है।

उदाहरण: 13,552

एक समूह = 1 + 5 + 2 = 8
दूसरा समूह = 3 + 5 = 8
अंतर = 8 − 8 = 0
अतः 13,552, 11 से विभाज्य है।

Exam Tip: 11 के नियम में digits को बाएँ से alternate positions में बाँटें।

1️⃣1️⃣ 12, 15, 18 और 20 से विभाज्यता

12 से विभाज्यता

संख्या 3 और 4 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।

15 से विभाज्यता

संख्या 3 और 5 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।

18 से विभाज्यता

संख्या 2 और 9 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।

20 से विभाज्यता

अंतिम दो अंक 20 से विभाज्य होने चाहिए। सामान्यतः अंतिम दो digits 00, 20, 40, 60 या 80 होने पर संख्या 20 से विभाज्य होती है।

उदाहरण:

360 → 12 से विभाज्य क्योंकि 360, 3 और 4 दोनों से विभाज्य है।

450 → 15 से विभाज्य क्योंकि 450, 3 और 5 दोनों से विभाज्य है।

1️⃣2️⃣ विभाज्यता और अभाज्य गुणनखंड

किसी संख्या को prime factors में तोड़ने से कई divisibility और factor-related questions जल्दी हल किए जा सकते हैं।

उदाहरण:

60 = 2 × 2 × 3 × 5
= 2² × 3 × 5

इससे स्पष्ट है कि 60 में 2, 3 और 5 के prime factors मौजूद हैं। इसलिए 60 इनसे विभाज्य है।

महत्वपूर्ण: यदि किसी संख्या के prime factorization में किसी divisor के सभी prime factors पर्याप्त घात के साथ मौजूद हैं, तो वह divisor संख्या को विभाजित कर सकता है।

1️⃣3️⃣ शेषफल और विभाज्यता का संबंध

यदि किसी संख्या को किसी divisor से भाग देने पर शेषफल 0 आता है, तभी वह संख्या उस divisor से विभाज्य होती है।

उदाहरण:

47 ÷ 5 = 9 शेष 2
इसलिए 47, 5 से विभाज्य नहीं है।

Division algorithm:

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

यह relation remainder आधारित प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।

1️⃣4️⃣ Missing Digit Questions

Competitive examinations में किसी संख्या के एक digit को x या □ से दर्शाकर पूछा जा सकता है कि संख्या किसी विशेष संख्या से divisible बनाने के लिए कौन-सा digit होगा।

उदाहरण:

संख्या 45□ को 3 से विभाज्य बनाने के लिए □ के कौन-कौन से अंक संभव हैं?

अंकों का योग = 4 + 5 + □ = 9 + □
इसे 3 से divisible होना चाहिए।

□ = 0, 3, 6, 9 होने पर digit sum 9, 12, 15, 18 होगा।

उत्तर: 0, 3, 6 और 9

ऐसे प्रश्नों में पहले divisibility rule पहचानें और फिर unknown digit पर condition लगाएँ।

1️⃣5️⃣ Smallest और Largest Number Questions

कभी-कभी पूछा जाता है कि किसी संख्या में कितना जोड़ें या घटाएँ ताकि वह किसी विशेष divisor से divisible हो जाए।

उदाहरण:

53 में सबसे छोटी कौन-सी संख्या जोड़ें कि परिणाम 7 से विभाज्य हो जाए?

53 ÷ 7 = 7 शेष 4
अगला multiple = 56
56 − 53 = 3

Concept: यदि remainder r है, तो अगले multiple तक पहुँचने के लिए सामान्यतः divisor − r जोड़ा जाता है, जब r ≠ 0।

घटाने वाले प्रश्न:
यदि संख्या में से सबसे छोटी संख्या घटाकर उसे divisible बनाना हो, तो वर्तमान remainder ही घटाने वाली संख्या हो सकती है।

1️⃣6️⃣ Multiple Divisibility Conditions

जब एक संख्या को एक साथ कई संख्याओं से divisible होना हो, तो conditions को एक साथ देखना चाहिए।

उदाहरण:

कोई संख्या 6 और 10 दोनों से विभाज्य है।

6 = 2 × 3
10 = 2 × 5

इसलिए संख्या में 2, 3 और 5 की आवश्यक factors होने चाहिए। ऐसी स्थिति में LCM(6,10) = 30 महत्वपूर्ण हो जाता है।

अर्थात् किसी संख्या का 6 और 10 दोनों से divisible होना उसे 30 से divisible होने की दिशा में ले जाता है क्योंकि 30 दोनों का least common multiple है।

Exam Connection: Divisibility questions आगे चलकर HCF और LCM के प्रश्नों से सीधे जुड़ते हैं।

1️⃣7️⃣ Competitive Level Solved Examples

प्रश्न 1:

क्या 7,236 संख्या 4 से विभाज्य है?

अंतिम दो अंक = 36
36 ÷ 4 = 9
अतः 7,236, 4 से विभाज्य है।

प्रश्न 2:

क्या 4,536 संख्या 9 से विभाज्य है?

4 + 5 + 3 + 6 = 18
18, 9 से विभाज्य है।
अतः 4,536, 9 से विभाज्य है।

प्रश्न 3:

क्या 2,184 संख्या 8 से विभाज्य है?

अंतिम तीन अंक = 184
184 ÷ 8 = 23
अतः 2,184, 8 से विभाज्य है।

प्रश्न 4:

45□ को 9 से विभाज्य बनाने के लिए □ क्या होना चाहिए?

4 + 5 + □ = 9 + □
9 + □ को 9 का multiple होना चाहिए।
एक अंक के लिए □ = 0 या 9।

प्रश्न 5:

87 में सबसे छोटी कौन-सी संख्या जोड़ें कि परिणाम 5 से विभाज्य हो?

87 का अंतिम अंक 7 है। अगला 5 का multiple 90 है।
90 − 87 = 3

1️⃣8️⃣ Common Traps और गलतियाँ

• 3 और 9 के नियम को एक जैसा समझ लेना।
• 4 के लिए केवल अंतिम अंक देखना।
• 8 के लिए अंतिम दो digits देखना, जबकि अंतिम तीन digits देखनी चाहिए।
• 6 के लिए केवल even number होना पर्याप्त मान लेना।
• 11 के rule में alternate digits का अंतर गलत निकालना।
• Missing digit में केवल एक संभावित digit मान लेना जबकि कई digits संभव हो सकते हैं।
• Remainder 0 होने और non-zero remainder होने की स्थिति में अंतर न करना।
• एक साथ कई divisibility conditions में LCM की भूमिका भूल जाना।

🎯 याद रखें: Divisibility rules का उद्देश्य लंबी division को छोटी और तेज calculation में बदलना है।

1️⃣9️⃣ Exam Strategy और Short Approach

प्रश्न देखते ही सबसे पहले यह पहचानें कि divisor कौन-सा है।

2 → अंतिम digit
3 → digit sum
4 → अंतिम 2 digits
5 → अंतिम digit 0 या 5
6 → 2 और 3 दोनों
8 → अंतिम 3 digits
9 → digit sum
10 → अंतिम digit 0
11 → alternate digit sums का अंतर

यदि प्रश्न missing digit, smallest number या multiple conditions पर आधारित है, तो केवल rule याद करने के बजाय पूरी condition को equation/number property के रूप में लिखना अधिक सुरक्षित है।

2️⃣0️⃣ One Liner Quick Revision

1. शेषफल 0 होने पर संख्या संबंधित divisor से विभाज्य होती है।

2. 2 से विभाज्यता के लिए अंतिम digit even होना चाहिए।

3. 3 से विभाज्यता के लिए digits का sum 3 से divisible होना चाहिए।

4. 4 से divisibility के लिए अंतिम दो digits देखी जाती हैं।

5. 5 से divisibility के लिए अंतिम digit 0 या 5 होती है।

6. 6 से divisibility के लिए संख्या 2 और 3 दोनों से divisible होनी चाहिए।

7. 8 से divisibility के लिए अंतिम तीन digits देखी जाती हैं।

8. 9 से divisibility के लिए digits का sum 9 से divisible होना चाहिए।

9. 10 से divisibility के लिए अंतिम digit 0 होनी चाहिए।

10. 11 के लिए alternate digit sums का अंतर 0 या 11 का multiple होना चाहिए।

11. 12 से divisibility के लिए 3 और 4 दोनों की conditions पूरी होनी चाहिए।

12. 15 से divisibility के लिए 3 और 5 दोनों की conditions पूरी होनी चाहिए।

13. 18 से divisibility के लिए 2 और 9 दोनों की conditions पूरी होनी चाहिए।

14. Divisibility rules को HCF, LCM और remainder problems में भी लागू किया जाता है।

⭐ Exam Important Points

• Divisor और Multiple का अंतर
• Factors और Prime Factorization
• 2, 3, 4, 5, 6 के rules
• 8 और 9 के rules
• 10 और 11 के rules
• 12, 15, 18, 20 की divisibility
• Missing Digit
• Remainder based questions
• Smallest/Largest number problems
• Multiple divisibility conditions
• HCF-LCM से connection

📌 Chapter 4 Preparation Roadmap

🔢 Divisibility Concept
⬇
📌 Basic Rules
⬇
🎯 Advanced Rules
⬇
🔍 Missing Digit
⬇
🧮 Remainder Application
⬇
🏆 Competitive Questions

🚀 अगला अध्याय

अध्याय-5: गुणनखंड, गुणज एवं अभाज्य संख्याएँ

Factors • Multiples • Prime Numbers • Composite Numbers • Co-Prime Numbers • Prime Factorization • Factor Counting

📚 Sunil Learning Point

गणित की व्यवस्थित एवं प्रतियोगी परीक्षा आधारित तैयारी

⬆️ Back to Table of Contents