इस अध्याय में बीजीय सर्वसमिकाओं के महत्वपूर्ण सूत्र, उनका विस्तार, गुणनखंडन, मान ज्ञात करने की शॉर्ट ट्रिक्स तथा प्रायिकता की मूल और प्रतियोगी स्तर की अवधारणाओं को विस्तार से समझाया गया है। सिक्का, पासा, ताश, गेंदें, निश्चित एवं असंभव घटनाएँ, पूरक घटना तथा probability आधारित प्रश्नों को भी शामिल किया गया है।
📑 Table of Contents
- बीजीय सर्वसमिकाएँ क्या हैं?
- मुख्य बीजीय सर्वसमिकाएँ
- (a+b)² और (a−b)²
- a²−b² की सर्वसमिका
- (a+b+c)² की सर्वसमिका
- (a+b)³ और (a−b)³
- a³+b³ और a³−b³
- तीन चर वाली महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ
- Identity से मान ज्ञात करना
- Identity आधारित Factorisation
- Competitive Algebra Questions
- प्रायिकता क्या है?
- प्रायोगिक एवं सैद्धांतिक प्रायिकता
- घटना, परिणाम एवं Sample Space
- सिक्के से संबंधित Probability
- पासे से संबंधित Probability
- ताश और गेंदों से संबंधित Probability
- पूरक घटना एवं Advanced Probability
- Exam Strategy एवं Common Traps
- One Liner Quick Revision
1️⃣ बीजीय सर्वसमिकाएँ क्या हैं?
बीजीय सर्वसमिका (Algebraic Identity) ऐसा बीजीय संबंध है जो चर के सभी मानों के लिए सत्य होता है, जहाँ दोनों पक्षों का मान समान रहता है।
(a + b)² = a² + 2ab + b²
यह संबंध a और b के सभी मानों के लिए सत्य है। इसलिए यह एक identity है।
Equation कुछ विशेष मानों के लिए सत्य हो सकती है, जबकि Identity संबंधित चर के सभी मानों के लिए सत्य होती है।
2️⃣ मुख्य बीजीय सर्वसमिकाएँ
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
3. a² − b² = (a + b)(a − b)
4. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
5. (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
6. a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
7. a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
3️⃣ (a+b)² और (a−b)²
सबसे अधिक प्रयोग होने वाली identities में से दो हैं:
(a − b)² = a² − 2ab + b²
उदाहरण 1
(x + 5)² को expand करें:
= x² + 10x + 25
उदाहरण 2
(x − 7)²:
4️⃣ a²−b² की सर्वसमिका
उदाहरण
x² − 25 को factorise करें।
= x² − 5²
= (x+5)(x−5)
संख्या आधारित Shortcut
102² − 98² को identity से आसानी से हल किया जा सकता है:
= (102+98)(102−98)
= 200 × 4
= 800
5️⃣ (a+b+c)² की सर्वसमिका
उदाहरण
(x + y + z)²:
इस identity का प्रयोग तीन variables वाले questions में बहुत उपयोगी है।
पहले सभी terms के squares → फिर हर दो terms के pair का 2 गुणा।
6️⃣ (a+b)³ और (a−b)³
(a+b)³
a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a−b)³
a³ − 3a²b + 3ab² − b³
उदाहरण
(x+2)³:
= x³ + 6x² + 12x + 8
(x−2)³:
7️⃣ a³+b³ और a³−b³
Sum of Cubes:
a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
Difference of Cubes:
a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
उदाहरण
x³ + 8:
= (x+2)(x²−2x+4)
x³ − 27:
= (x−3)(x²+3x+9)
8️⃣ तीन चर वाली महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ
तीन variables वाले competitive questions में निम्न identity उपयोगी है:
= (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)
एक और महत्वपूर्ण परिणाम:
a³+b³+c³ = 3abc
उदाहरण
यदि x+y+z=0 और xyz=5 है, तो x³+y³+z³ का मान:
= 3 × 5
= 15
9️⃣ Identity से मान ज्ञात करना
कई बार सीधे multiplication करने के बजाय identity से value निकालना बहुत आसान होता है।
उदाहरण 1
99² का मान:
= 10000 − 200 + 1
= 9801
उदाहरण 2
103²:
= 10000 + 600 + 9
= 10609
उदाहरण 3
48 × 52:
= 50²−2²
= 2500−4
= 2496
🔟 Identity आधारित Factorisation
Identity को reverse direction में लगाने पर factorisation किया जाता है।
= x² + 2(x)(5) + 5²
= (x+5)²
= x² − 4²
= (x+4)(x−4)
= x³ − 2³
= (x−2)(x²+2x+4)
1️⃣1️⃣ Competitive Algebra Questions
(x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²
25 = x² + 2 + 1/x²
अतः x² + 1/x² = 23
(x − 1/x)² = x² − 2 + 1/x²
9 = x² − 2 + 1/x²
अतः x² + 1/x² = 11
(1000+1)² = 1000000 + 2000 + 1
= 1002001
1️⃣2️⃣ प्रायिकता क्या है?
प्रायिकता (Probability) किसी घटना के घटित होने की संभावना को संख्यात्मक रूप में व्यक्त करती है।
जब सभी संभावित परिणाम समान रूप से संभावित हों, तब:
अर्थात:
जहाँ E घटना है और S sample space है।
0 ≤ P(E) ≤ 1
1️⃣3️⃣ प्रायोगिक एवं सैद्धांतिक प्रायिकता
सैद्धांतिक प्रायिकता
सभी समान संभावित परिणामों को ध्यान में रखकर probability निकाली जाती है।
प्रायोगिक प्रायिकता
किसी घटना को वास्तव में कई बार प्रयोग करके प्राप्त परिणामों के आधार पर probability निकाली जा सकती है।
जैसे-जैसे प्रयोगों की संख्या बढ़ती है, experimental probability अक्सर theoretical probability के आसपास आ सकती है, लेकिन सीमित प्रयोगों में दोनों बिल्कुल समान होना आवश्यक नहीं है।
1️⃣4️⃣ घटना, परिणाम एवं Sample Space
Outcome: किसी प्रयोग का एक संभावित परिणाम।
Sample Space: किसी random experiment के सभी संभावित outcomes का समूह।
सिक्का
पासा
घटना
यदि पासे पर सम संख्या आने की घटना है:
अनुकूल परिणाम = 3 और कुल परिणाम = 6।
1️⃣5️⃣ सिक्के से संबंधित Probability
एक सिक्का
Sample space:
Head की probability:
दो सिक्के
कुल outcomes = 4
Exactly one Head के outcomes = HT, TH
तीन सिक्के
कुल संभावित outcomes = 2³ = 8
1️⃣6️⃣ पासे से संबंधित Probability
एक सामान्य निष्पक्ष पासे के संभावित परिणाम:
सम संख्या आने की Probability
अनुकूल outcomes = 2, 4, 6 = 3
5 से बड़ी संख्या आने की Probability
अनुकूल outcome केवल 6 है।
Prime number आने की Probability
Prime outcomes = 2, 3, 5
1️⃣7️⃣ ताश और गेंदों से संबंधित Probability
ताश के पत्ते
एक standard deck में 52 cards होते हैं, जिनमें 4 suits होते हैं और प्रत्येक suit में 13 cards होते हैं।
किसी निर्धारित rank, जैसे Ace, के 4 cards होते हैं:
गेंदों से संबंधित प्रश्न
यदि एक डिब्बे में 5 लाल और 3 नीली गेंदें हैं, तो कुल गेंदें:
एक लाल गेंद निकालने की probability:
1️⃣8️⃣ पूरक घटना एवं Advanced Probability
पूरक घटना
यदि E किसी घटना को दर्शाती है, तो उसके न होने की घटना को E' या complement कहा जा सकता है।
उदाहरण
एक पासे पर 6 आने की probability 1/6 है। 6 न आने की probability:
कम-से-कम एक (At Least One)
ऐसे प्रश्नों में complement method बहुत उपयोगी है:
असंभव और निश्चित घटना
1️⃣9️⃣ Exam Strategy एवं Common Traps
Algebra में ध्यान दें
- (a+b)² में middle term +2ab होती है।
- (a−b)² में middle term −2ab होती है।
- (a−b)² को a²−b² न लिखें।
- a²−b² = (a+b)(a−b)।
- Cube identities में signs ध्यान से देखें।
- Factorisation में identity को reverse direction में लगाएँ।
Probability में ध्यान दें
- पहले sample space निर्धारित करें।
- कुल संभावित outcomes सही गिनें।
- अनुकूल outcomes की संख्या सही निकालें।
- Probability कभी 0 से कम या 1 से अधिक नहीं होती।
- Without replacement में कुल वस्तुओं की संख्या बदल सकती है।
- At least one में complement method बहुत उपयोगी है।
- Independent और dependent situations को अलग समझें।
पहले identities के सूत्रों को मजबूत करें, फिर value-based questions और factorisation करें। Probability में coin, dice, cards, balls और complement वाले questions का नियमित अभ्यास करें।
2️⃣0️⃣ One Liner Quick Revision
Ans: a²+2ab+b²
Ans: a²−2ab+b²
Ans: (a+b)(a−b)
Ans: (a+b)(a²−ab+b²)
Ans: (a−b)(a²+ab+b²)
Ans: 3abc
Ans: अनुकूल परिणाम ÷ कुल संभावित परिणाम
Ans: 0 ≤ P(E) ≤ 1
Ans: 1/2
Ans: 1/2
Ans: P(E') = 1−P(E)
Ans: 0
⭐ Exam Important Points
- (a+b)² और (a−b)² को अच्छी तरह याद करें।
- a²−b² का factorisation बहुत महत्वपूर्ण है।
- Sum और Difference of Cubes के formulas याद रखें।
- (a+b+c)² का विस्तार जानें।
- a³+b³+c³−3abc identity को समझें।
- a+b+c=0 होने पर a³+b³+c³=3abc याद रखें।
- Identity का प्रयोग calculation shortcut के रूप में करें।
- Probability में sample space सबसे पहले निर्धारित करें।
- Coin और dice के basic outcomes मजबूत करें।
- Cards और balls वाले questions में favourable/total outcomes पहचानें।
- Complementary probability का प्रयोग करें।
- At least one वाले questions में complement method उपयोगी है।
📌 Chapter 24 Formula Sheet
(a−b)² = a²−2ab+b²
a²−b² = (a+b)(a−b)
(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
(a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
P(E) = n(E)/n(S)
P(E') = 1−P(E)
0 ≤ P(E) ≤ 1
🚀 Chapter 24 Preparation Roadmap
⬇
🧮 Expansion
⬇
🔢 Factorisation
⬇
⚡ Calculation Shortcuts
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🎲 Probability Basics
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🪙 Coins
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🎯 Dice
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🃏 Cards & Balls
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🔄 Complementary Probability
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🏆 Competitive Practice
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