गणित ✍️ अध्याय-22: इकाई विधि, कैलेंडर एवं घड़ी (Full Notes)

📐 गणित — अध्याय 22

इकाई विधि, कैलेंडर एवं घड़ी

Unitary Method • Direct & Inverse Proportion • Calendar • Odd Days • Clock • Angles • Competitive Practice

🎯 अध्याय का उद्देश्य
इस अध्याय में इकाई विधि से जुड़े प्रत्यक्ष एवं व्युत्क्रमानुपाती प्रश्नों के साथ कैलेंडर में दिन, सप्ताह, लीप वर्ष, Odd Days और किसी तारीख का दिन ज्ञात करने की विधियाँ तथा घड़ी में कोण, सुईयों की स्थिति और समय आधारित प्रश्नों को परीक्षा-उपयोगी तरीके से समझाया गया है। प्रश्नों को इस प्रकार रखा गया है कि विद्यार्थी केवल formula याद न करे बल्कि calculation और reasoning दोनों विकसित कर सके।

📑 विषय सूची

1. इकाई विधि क्या है?
2. इकाई विधि के मूल नियम
3. प्रत्यक्ष समानुपात
4. व्युत्क्रमानुपात
5. इकाई विधि के Competitive Questions
6. काम, मजदूर, समय और वस्तुओं में इकाई विधि
7. मूल्य, मात्रा और खपत आधारित प्रश्न
8. इकाई विधि में Common Traps
9. कैलेंडर की मूल अवधारणाएँ
10. सप्ताह और Odd Days
11. साधारण वर्ष एवं लीप वर्ष
12. किसी तारीख का दिन ज्ञात करना
13. कैलेंडर में महत्वपूर्ण Short Tricks
14. कैलेंडर के Competitive Questions
15. घड़ी की मूल अवधारणा
16. घड़ी की सुइयों के बीच कोण
17. विशेष समय और Coincidence Questions
18. घड़ी के Advanced Competitive Questions
19. Exam Strategy एवं Common Traps
20. One Liner Quick Revision

1️⃣ इकाई विधि क्या है?

किसी दी हुई मात्रा, वस्तु, कार्य या कीमत से पहले एक इकाई का मान ज्ञात करना और फिर आवश्यक इकाइयों का मान निकालना इकाई विधि (Unitary Method) कहलाता है।

उदाहरण:
5 पेन की कीमत ₹100 है।
1 पेन की कीमत = 100 ÷ 5 = ₹20
8 पेन की कीमत = 20 × 8 = ₹160

इकाई विधि का मुख्य विचार है:

पहले 1 इकाई → फिर आवश्यक इकाइयाँ

2️⃣ इकाई विधि के मूल नियम

इकाई विधि में प्रश्न को हल करते समय सामान्यतः दो चरण होते हैं:

चरण 1: दी गई मात्रा से 1 इकाई का मान ज्ञात करें।

चरण 2: 1 इकाई के मान को आवश्यक मात्रा से गुणा करें।

उदाहरण: 12 किताबों की कीमत ₹720 है। 7 किताबों की कीमत?

1 किताब = 720 ÷ 12 = ₹60

7 किताब = 60 × 7 = ₹420

Exam Tip: सबसे पहले यह पहचानें कि मात्रा बढ़ने पर उत्तर बढ़ेगा या घटेगा।

3️⃣ प्रत्यक्ष समानुपात (Direct Proportion)

जब एक मात्रा बढ़ने पर दूसरी मात्रा भी उसी दिशा में बढ़ती है, तो इसे प्रत्यक्ष समानुपात कहते हैं।

अधिक वस्तुएँ → अधिक कीमत
अधिक दूरी → अधिक समय, यदि चाल समान हो
अधिक मात्रा → अधिक लागत, यदि प्रति इकाई दर समान हो

उदाहरण:

4 kg चावल की कीमत ₹240 है। 7 kg की कीमत?

1 kg = 240 ÷ 4 = ₹60

7 kg = 60 × 7 = ₹420

यह प्रत्यक्ष समानुपात का उदाहरण है।

4️⃣ व्युत्क्रमानुपात (Inverse Proportion)

जब एक मात्रा बढ़ने पर दूसरी मात्रा घटती है, तो उसे व्युत्क्रमानुपात कहते हैं।

अधिक मजदूर → कम समय, यदि कार्य और दक्षता समान हो।
कम मजदूर → अधिक समय।

उदाहरण: 8 मजदूर किसी कार्य को 15 दिन में करते हैं। उसी दक्षता पर 12 मजदूर वही कार्य कितने दिन में करेंगे?

मजदूर × दिन = स्थिर

8 × 15 = 12 × x

x = 120 ÷ 12 = 10 दिन

महत्वपूर्ण: Inverse proportion में केवल संख्या बदलने से काम नहीं चलेगा; यह देखना जरूरी है कि बाकी conditions समान हैं या नहीं।

5️⃣ इकाई विधि के Competitive Questions

प्रश्न 1: 15 मीटर कपड़े की कीमत ₹900 है। 22 मीटर की कीमत कितनी होगी?

1 मीटर = 900 ÷ 15 = ₹60
22 मीटर = 60 × 22 = ₹1320

प्रश्न 2: एक वाहन 3 घंटे में 180 km चलता है। समान चाल से 7 घंटे में कितनी दूरी तय करेगा?

1 घंटे = 180 ÷ 3 = 60 km
7 घंटे = 60 × 7 = 420 km

प्रश्न 3: 6 मजदूर किसी कार्य को 20 दिन में करते हैं। 10 मजदूर उसी कार्य को कितने दिन में करेंगे?

6 × 20 = 10 × x
x = 120 ÷ 10 = 12 दिन

6️⃣ काम, मजदूर, समय और वस्तुओं में इकाई विधि

Unitary Method को Work, Wages, Time, Quantity और Production वाले प्रश्नों में लागू किया जा सकता है।

उदाहरण:
5 मजदूर 12 दिन में ₹9000 कमाते हैं। समान दर और समान कार्य-दिवस के आधार पर 8 मजदूर 12 दिन में कितना कमाएँगे?

5 मजदूर की कमाई = ₹9000
1 मजदूर की कमाई = 9000 ÷ 5 = ₹1800
8 मजदूर = 1800 × 8 = ₹14400

यदि समय भी बदल रहा हो तो पहले यह निर्धारित करें कि संबंध प्रत्यक्ष है या व्युत्क्रम।

7️⃣ मूल्य, मात्रा और खपत आधारित प्रश्न

प्रश्न: 8 kg चीनी की कीमत ₹360 है। ₹585 में कितनी चीनी मिलेगी?

1 kg = 360 ÷ 8 = ₹45
मात्रा = 585 ÷ 45 = 13 kg

Exam Approach:
जब कीमत दी हो और मात्रा पूछी जाए, तो पहले प्रति इकाई कीमत निकालना सबसे सुरक्षित तरीका है।

8️⃣ इकाई विधि में Common Traps

• प्रत्यक्ष और व्युत्क्रमानुपात को उलट देना।
• 1 इकाई निकालने के बाद गलत operation करना।
• मजदूर और समय दोनों बढ़ने पर बिना condition देखे multiplication करना।
• प्रति वस्तु कीमत और कुल कीमत को confuse करना।
• दिए गए समय को घंटों और मिनटों में सही तरह convert न करना।
• समान दक्षता की condition को नजरअंदाज करना।

Golden Rule: पहले पूछें — “एक मात्रा बढ़ने पर दूसरी मात्रा बढ़ रही है या घट रही है?”

9️⃣ कैलेंडर की मूल अवधारणाएँ

Calendar questions में दिन, सप्ताह, महीना, वर्ष और तारीखों के बीच संबंध समझना जरूरी है।

मुख्य तथ्य:
1 सप्ताह = 7 दिन
साधारण वर्ष = 365 दिन
लीप वर्ष = 366 दिन

किसी अवधि में पूरे 7 दिन के समूह को हटाने के बाद बचने वाले दिनों को calendar problems में Odd Days के रूप में देखा जाता है।

🔟 सप्ताह और Odd Days

क्योंकि 7 दिन = 1 सप्ताह, इसलिए किसी संख्या को 7 से भाग देने पर बचा remainder सप्ताह के दिन में shift बताता है।

दिन	7 से भाग देने पर शेष
7	0
8	1
14	0
15	1

उदाहरण: यदि आज सोमवार है, तो 10 दिन बाद कौन-सा दिन होगा?

10 ÷ 7 का शेष 3 है। सोमवार से 3 दिन आगे = गुरुवार।

1️⃣1️⃣ साधारण वर्ष एवं लीप वर्ष

साधारण वर्ष में 365 दिन होते हैं।

लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं। सामान्य Gregorian calendar rule के अनुसार:

• जो वर्ष 4 से विभाज्य हो, वह सामान्यतः leap year होता है।
• जो century year 100 से विभाज्य हो, वह leap year नहीं होता, जब तक वह 400 से भी विभाज्य न हो।

उदाहरण:
2024 → 4 से विभाज्य ⇒ लीप वर्ष
1900 → 100 से विभाज्य लेकिन 400 से नहीं ⇒ लीप वर्ष नहीं
2000 → 400 से विभाज्य ⇒ लीप वर्ष

1️⃣2️⃣ किसी तारीख का दिन ज्ञात करना

किसी तारीख का day-of-week निकालने के लिए पूरे वर्षों और महीनों के दिनों को जोड़कर 7 से remainder लेना एक उपयोगी तरीका है। Competitive exams में अलग-अलग methods मिल सकते हैं, इसलिए प्रश्न में दिए गए reference day को ध्यान से देखें।

Basic Approach:
① Reference date/day पहचानें।
② बीच के पूरे वर्षों के days देखें।
③ Leap year की अतिरिक्त day को ध्यान में रखें।
④ संबंधित महीनों के दिनों को जोड़ें।
⑤ कुल अंतर को 7 से divide करके remainder लें।
⑥ उसी remainder के अनुसार day निर्धारित करें।

⚠️ ध्यान दें: Date calculation में starting date को count करना है या नहीं, यह प्रश्न की wording पर निर्भर कर सकता है।

1️⃣3️⃣ कैलेंडर में महत्वपूर्ण Short Tricks

• 7 दिन का shift = वही weekday।
• 14 दिन का shift = वही weekday।
• 365 दिन = 52 सप्ताह + 1 दिन।
• 366 दिन = 52 सप्ताह + 2 दिन।
• इसलिए सामान्य वर्ष के बाद weekday एक दिन आगे shift होता है।
• Leap year के प्रभाव को calendar calculation में शामिल करना जरूरी है।

Exam Tip: 365 और 366 को सीधे याद करने के बजाय उनके 7 से remainder को याद रखें: 365 का remainder 1 और 366 का remainder 2।

1️⃣4️⃣ कैलेंडर के Competitive Questions

प्रश्न 1: यदि 1 जनवरी सोमवार है, तो 8 जनवरी कौन-सा दिन होगा?
8 जनवरी, 1 जनवरी से 7 दिन बाद है।
उत्तर: सोमवार

प्रश्न 2: यदि आज बुधवार है, तो 100 दिन बाद कौन-सा दिन होगा?
100 ÷ 7 में शेष 2।
बुधवार से 2 दिन आगे = शुक्रवार

प्रश्न 3: 365 दिनों में कितने पूरे सप्ताह और कितने अतिरिक्त दिन होते हैं?
365 = 52 × 7 + 1
उत्तर: 52 सप्ताह और 1 दिन

1️⃣5️⃣ घड़ी की मूल अवधारणाएँ

घड़ी में मुख्यतः दो सुइयाँ होती हैं:

• Minute Hand: मिनट की सुई
• Hour Hand: घंटे की सुई

एक पूर्ण घेरा = 360°

12 घंटे में घंटे की सुई 360° घूमती है। इसलिए:

Hour hand की चाल = 30° प्रति घंटा

60 मिनट में मिनट की सुई 360° घूमती है। इसलिए:

Minute hand की चाल = 6° प्रति मिनट

1️⃣6️⃣ घड़ी की सुइयों के बीच कोण

यदि समय h घंटे m मिनट है, तो दोनों सुइयों के बीच छोटा कोण निकालने का सूत्र:

Angle = |30h − 5.5m|

यदि प्राप्त angle 180° से अधिक हो, तो छोटा कोण प्राप्त करने के लिए:

Small Angle = 360° − प्राप्त कोण

उदाहरण: 3:00 बजे

Angle = |30 × 3 − 5.5 × 0|

= 90°

अतः 3 बजे दोनों सुइयों के बीच छोटा कोण 90° है।

1️⃣7️⃣ विशेष समय और Coincidence Questions

घड़ी में कुछ प्रश्नों में पूछा जाता है कि दोनों सुइयाँ कब एक-दूसरे पर आएँगी या 180° का कोण कब बनाएँगी।

मुख्य विचार:
Hour hand लगातार चलती है; वह केवल घंटे की शुरुआत पर स्थिर नहीं रहती। इसलिए केवल घंटे की सुई को 30° प्रति घंटा मानकर सीधे calculation करना पर्याप्त नहीं होता।

दोनों सुइयों की relative speed:

6° − 0.5° = 5.5° प्रति मिनट

इसी relative speed की सहायता से coincidence और angle आधारित प्रश्न हल किए जा सकते हैं।

1️⃣8️⃣ घड़ी के Advanced Competitive Questions

प्रश्न 1: 4:00 बजे घड़ी की दोनों सुइयों के बीच छोटा कोण कितना होगा?

Angle = |30 × 4 − 5.5 × 0|
= 120°
उत्तर: 120°

प्रश्न 2: 6:00 बजे दोनों सुइयों के बीच कोण कितना होगा?

Angle = |30 × 6| = 180°
उत्तर: 180°

प्रश्न 3: 2:30 बजे छोटा कोण ज्ञात करें।

Angle = |30 × 2 − 5.5 × 30|
= |60 − 165|
= 105°
उत्तर: 105°

1️⃣9️⃣ Exam Strategy एवं Common Traps

🎯 इकाई विधि

• पहले 1 इकाई का मान निकालें।
• Direct और Inverse relationship पहचानें।
• मजदूर-समय में सामान्यतः inverse relation देखें।
• दर, मात्रा और कुल मूल्य को अलग-अलग पहचानें।

📅 Calendar

• 7 के remainder पर ध्यान दें।
• Leap year की condition याद रखें।
• 365 = 52 सप्ताह + 1 दिन।
• 366 = 52 सप्ताह + 2 दिन।
• Starting date की counting carefully करें।

⏰ Clock

• Hour hand = 0.5° प्रति मिनट।
• Minute hand = 6° प्रति मिनट।
• Relative speed = 5.5° प्रति मिनट।
• Angle formula में absolute difference लें।
• यदि angle 180° से अधिक हो तो छोटा angle निकालें।

🔥 SuperTET Focus: इन तीनों topics में केवल formula याद करना पर्याप्त नहीं है। प्रश्न की condition पहचानना सबसे महत्वपूर्ण skill है।

2️⃣0️⃣ One Liner Quick Revision

Q1. इकाई विधि का पहला चरण क्या है?
Ans: 1 इकाई का मान ज्ञात करना।

Q2. 1 सप्ताह में कितने दिन होते हैं?
Ans: 7 दिन।

Q3. साधारण वर्ष में कितने दिन होते हैं?
Ans: 365 दिन।

Q4. लीप वर्ष में कितने दिन होते हैं?
Ans: 366 दिन।

Q5. 365 दिनों में कितने Odd Days होते हैं?
Ans: 1।

Q6. 366 दिनों में कितने Odd Days होते हैं?
Ans: 2।

Q7. Minute hand की चाल कितनी है?
Ans: 6° प्रति मिनट।

Q8. Hour hand की चाल कितनी है?
Ans: 0.5° प्रति मिनट।

Q9. दोनों सुइयों की Relative Speed कितनी है?
Ans: 5.5° प्रति मिनट।

Q10. 3 बजे घड़ी की सुइयों के बीच कोण कितना है?
Ans: 90°।

⭐ Exam Important Points

• Unitary Method में पहले 1 इकाई निकालना सीखें।
• Direct और Inverse Proportion का अंतर स्पष्ट रखें।
• Calendar में 7 से remainder सबसे महत्वपूर्ण concept है।
• Leap Year की century condition को न भूलें।
• 365 दिन = 52 सप्ताह + 1 दिन।
• 366 दिन = 52 सप्ताह + 2 दिन।
• Clock में Hour hand की गति 0.5° प्रति मिनट है।
• Minute hand की गति 6° प्रति मिनट है।
• दोनों की relative speed 5.5° प्रति मिनट है।
• Clock angle के प्रश्नों में छोटा angle पूछे जाने पर 360° से तुलना करें।

🚀 Chapter 22 Preparation Roadmap

📖 इकाई विधि
⬇
📈 Direct Proportion
⬇
📉 Inverse Proportion
⬇
📅 Calendar
⬇
🔢 Odd Days
⬇
📆 Leap Year
⬇
⏰ Clock
⬇
📐 Clock Angles
⬇
🎯 Competitive Practice
⬇
🔄 Quick Revision

📚 अगला अध्याय

अध्याय-23: विभाज्यता के नियम एवं संख्या संबंधी प्रश्न

Divisibility Rules • Factors • Multiples • Remainders • Number Properties • Competitive Tricks

📚 Sunil Learning Point

प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए व्यवस्थित एवं Concept-based तैयारी

⬆️ Back to Table of Contents