गणित ✍️ अध्याय-21: वर्ग, वर्गमूल एवं घन, घनमूल (Full Notes)

📐 गणित — अध्याय 21

वर्ग, वर्गमूल एवं घन, घनमूल

Concept • Methods • Short Tricks • SuperTET Level • Practice

🎯 अध्याय का उद्देश्य
इस अध्याय में वर्ग, वर्गमूल, घन और घनमूल की मूल अवधारणाओं के साथ-साथ परीक्षा में पूछे जाने वाले प्रश्नों, शॉर्ट ट्रिक्स, अनुमान विधि, अभाज्य गुणनखंड विधि, भाग विधि और अनुप्रयोग आधारित प्रश्नों को समझाया गया है। यह अध्याय केवल याद करने के लिए नहीं, बल्कि प्रश्नों को तेजी और सही तरीके से हल करने के लिए तैयार किया गया है।

📑 विषय सूची

1. वर्ग क्या है?
2. पूर्ण वर्ग संख्या
3. वर्ग की महत्वपूर्ण विशेषताएँ
4. 1 से 30 तक के वर्ग
5. वर्ग निकालने की शॉर्ट ट्रिक्स
6. वर्गमूल क्या है?
7. वर्गमूल की महत्वपूर्ण बातें
8. अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल
9. भाग विधि से वर्गमूल
10. अनुमान द्वारा वर्गमूल
11. पूर्ण वर्ग बनाने वाले प्रश्न
12. सबसे छोटी संख्या जोड़ना/घटाना
13. घन क्या है?
14. पूर्ण घन संख्या
15. घन की महत्वपूर्ण विशेषताएँ
16. 1 से 20 तक के घन
17. घनमूल क्या है?
18. घनमूल निकालने की विधियाँ
19. SuperTET Level Questions और Exam Strategy
20. One Liner Quick Revision

1️⃣ वर्ग क्या है?

किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करने पर प्राप्त संख्या उस संख्या का वर्ग (Square) कहलाती है।

उदाहरण:
5 × 5 = 25 ⇒ 25, 5 का वर्ग है।
12 × 12 = 144 ⇒ 144, 12 का वर्ग है।

सूत्र: n² = n × n

यदि किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करना हो तो उस संख्या को स्वयं से गुणा किया जाता है।

2️⃣ पूर्ण वर्ग संख्या

जिस पूर्ण संख्या का वर्गमूल एक पूर्ण संख्या हो, उसे पूर्ण वर्ग संख्या (Perfect Square) कहते हैं।

संख्या	वर्ग	वर्गमूल
9	3²	3
16	4²	4
25	5²	5
100	10²	10

ध्यान रखें: 0 भी पूर्ण वर्ग है क्योंकि 0 × 0 = 0।

3️⃣ वर्ग की महत्वपूर्ण विशेषताएँ

• किसी पूर्ण संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता।
• पूर्ण वर्ग संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में प्रत्येक घात सम होती है।
• पूर्ण वर्ग का इकाई अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6 या 9 हो सकता है।
• जिस संख्या का अंतिम अंक 2, 3, 7 या 8 हो, वह पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती।
• यदि किसी पूर्ण वर्ग का अंतिम अंक 5 है, तो उसके अंत में 25 होगा।

Exam Trick: यदि विकल्पों में ऐसी संख्या दी है जिसका अंतिम अंक 2, 3, 7 या 8 है, तो वह पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती।

4️⃣ 1 से 30 तक के वर्ग

संख्या	वर्ग	संख्या	वर्ग
1	1	16	256
2	4	17	289
3	9	18	324
4	16	19	361
5	25	20	400
6	36	21	441
7	49	22	484
8	64	23	529
9	81	24	576
10	100	25	625
11	121	26	676
12	144	27	729
13	169	28	784
14	196	29	841
15	225	30	900

SuperTET Tip: 1–30 तक के वर्गों को याद रखने से वर्गमूल, औसत, क्षेत्रमिति और संख्यात्मक प्रश्नों में calculation speed बढ़ती है।

5️⃣ वर्ग निकालने की शॉर्ट ट्रिक्स

🔹 5 पर समाप्त होने वाली संख्या

यदि संख्या 5 पर समाप्त होती है, तो उसके वर्ग के लिए पहले अंक को उसके अगले अंक से गुणा करके अंत में 25 लगाएँ।

25² = 2 × 3 और अंत में 25 = 625
65² = 6 × 7 और अंत में 25 = 4225

🔹 100 के आसपास की संख्या

यदि संख्या 100 के आसपास है, तो (100 ± a)² के सूत्र का प्रयोग किया जा सकता है।

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

98² = (100 − 2)²
= 10000 − 400 + 4
= 9604

6️⃣ वर्गमूल क्या है?

वह संख्या जिसे स्वयं से गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त हो, उस संख्या का वर्गमूल कहलाती है।

√144 = 12 क्योंकि 12 × 12 = 144
√225 = 15 क्योंकि 15 × 15 = 225

वर्गमूल का प्रतीक √ है।

महत्वपूर्ण: सामान्यतः √144 का principal square root 12 माना जाता है। लेकिन x² = 144 के समीकरण के हल x = ±12 होंगे।

7️⃣ वर्गमूल की महत्वपूर्ण बातें

• पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्ण संख्या होता है।
• किसी धनात्मक संख्या का principal square root धनात्मक लिया जाता है।
• 0 का वर्गमूल 0 है।
• ऋणात्मक वास्तविक संख्या का वास्तविक वर्गमूल नहीं होता।
• √(a²) = |a| होता है।
• √(ab) = √a × √b, जब a और b गैर-ऋणात्मक हों।

Exam Trap: √(−25) को वास्तविक संख्या में परिभाषित नहीं किया जाता।

8️⃣ अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल

इस विधि में संख्या को prime factors में तोड़कर समान गुणनखंडों के जोड़े बनाए जाते हैं। प्रत्येक जोड़े से एक संख्या वर्गमूल के बाहर आती है।

144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= (2 × 2)(2 × 2)(3 × 3)
इसलिए √144 = 2 × 2 × 3 = 12

Rule: वर्गमूल में प्रत्येक prime factor की घात को 2 से जोड़ा जाता है।

9️⃣ भाग विधि से वर्गमूल

बड़ी संख्याओं का वर्गमूल निकालने के लिए Long Division Method उपयोगी है।

मुख्य चरण:

1. दाईं ओर से अंकों के जोड़े बनाएँ।
2. बाएँ समूह से सबसे बड़ा संभव वर्ग चुनें।
3. उसका वर्ग घटाएँ।
4. अगला अंक नीचे लाएँ।
5. वर्तमान root को दोगुना करके अगला अंक निर्धारित करें।

यह विधि बड़ी पूर्ण वर्ग संख्याओं के वर्गमूल के प्रश्नों में उपयोगी है।

🔟 अनुमान द्वारा वर्गमूल

यदि संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है, तो उसके आसपास के दो पूर्ण वर्गों की सहायता से वर्गमूल का अनुमान लगाया जा सकता है।

√50 के लिए:
7² = 49 और 8² = 64
इसलिए √50, 7 और 8 के बीच होगा तथा 7 के बहुत पास होगा।

SuperTET Tip: विकल्प आधारित प्रश्नों में exact calculation की जगह range और nearest square का प्रयोग समय बचा सकता है।

1️⃣1️⃣ पूर्ण वर्ग बनाने वाले प्रश्न

किसी संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए यह देखना जरूरी है कि उसके prime factorisation में प्रत्येक prime की घात सम है या नहीं।

72 = 2³ × 3²
यहाँ 2 की घात 3 विषम है। इसलिए 72 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए कम-से-कम एक 2 से गुणा करना होगा।

72 × 2 = 144 = 12²

इस प्रकार 72 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 2 से गुणा करना होगा।

1️⃣2️⃣ सबसे छोटी संख्या जोड़ना या घटाना

ऐसे प्रश्नों में पहले निकटतम पूर्ण वर्ग खोजें और फिर अंतर निकालें।

200 के बाद अगला पूर्ण वर्ग 15² = 225 है।
225 − 200 = 25

इसलिए 200 में 25 जोड़ने पर पूर्ण वर्ग मिलेगा।

यदि घटाने वाला प्रश्न हो तो पिछले पूर्ण वर्ग की ओर देखें।

1️⃣3️⃣ घन क्या है?

किसी संख्या को तीन बार स्वयं से गुणा करने पर प्राप्त संख्या उस संख्या का घन (Cube) कहलाती है।

n³ = n × n × n

3³ = 3 × 3 × 3 = 27
5³ = 5 × 5 × 5 = 125
10³ = 10 × 10 × 10 = 1000

1️⃣4️⃣ पूर्ण घन संख्या

जिस संख्या का घनमूल पूर्ण संख्या हो, उसे पूर्ण घन (Perfect Cube) कहते हैं।

संख्या	घन
2	8
3	27
4	64
5	125
6	216

पूर्ण घन के prime factorisation में प्रत्येक prime की घात 3 के गुणज होती है।

1️⃣5️⃣ घन की महत्वपूर्ण विशेषताएँ

• पूर्ण घन संख्या में प्रत्येक prime factor की घात 3 का गुणज होती है।
• किसी संख्या के घन का अंतिम अंक उसी संख्या के अंतिम अंक से निर्धारित होता है।
• यदि संख्या का अंतिम अंक 2 है, तो उसके घन का अंतिम अंक 8 होगा।
• अंतिम अंक 3 का घन 7 पर समाप्त होता है।
• अंतिम अंक 7 का घन 3 पर समाप्त होता है।
• अंतिम अंक 8 का घन 2 पर समाप्त होता है।

Exam Trick: Cube-root questions में अंतिम अंक की mapping बहुत उपयोगी होती है।

1️⃣6️⃣ 1 से 20 तक के घन

संख्या	घन	संख्या	घन
1	1	11	1331
2	8	12	1728
3	27	13	2197
4	64	14	2744
5	125	15	3375
6	216	16	4096
7	343	17	4913
8	512	18	5832
9	729	19	6859
10	1000	20	8000

1️⃣7️⃣ घनमूल क्या है?

वह संख्या जिसे तीन बार स्वयं से गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त हो, उस संख्या का घनमूल (Cube Root) कहलाता है।

∛27 = 3 क्योंकि 3 × 3 × 3 = 27
∛125 = 5 क्योंकि 5 × 5 × 5 = 125
∛1000 = 10 क्योंकि 10 × 10 × 10 = 1000

1️⃣8️⃣ घनमूल निकालने की विधियाँ

🔹 अभाज्य गुणनखंड विधि

संख्या को prime factors में तोड़ें और समान factors के तीन-तीन के समूह बनाएँ। प्रत्येक समूह से एक factor बाहर लें।

216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
= (2 × 2 × 2)(3 × 3 × 3)
इसलिए ∛216 = 2 × 3 = 6

🔹 अंतिम अंक की सहायता

पूर्ण घन संख्या के अंतिम अंक से घनमूल की इकाई का अंक निर्धारित किया जा सकता है।

घन का अंतिम अंक	घनमूल का अंतिम अंक
0	0
1	1
2	8
3	7
4	4
5	5
6	6
7	3
8	2
9	9

1️⃣9️⃣ SuperTET Level Questions और Exam Strategy

प्रश्न 1: 72 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करने पर पूर्ण वर्ग प्राप्त होगा?
72 = 2³ × 3²
विषम घात वाली 2 की एक और घात चाहिए।
उत्तर: 2

प्रश्न 2: 108 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करने पर पूर्ण वर्ग बनेगा?
108 = 2² × 3³
3 की घात विषम है, इसलिए 3 से गुणा करें।
108 × 3 = 324 = 18²
उत्तर: 3

प्रश्न 3: 432 को किस सबसे छोटी संख्या से भाग देने पर पूर्ण वर्ग प्राप्त होगा?
432 = 2⁴ × 3³
3 की घात विषम है, इसलिए 3 से भाग दें।
432 ÷ 3 = 144 = 12²
उत्तर: 3

प्रश्न 4: 3375 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
15³ = 3375
उत्तर: 15

प्रश्न 5: 50 और 60 के बीच कितनी पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं?
7² = 49 और 8² = 64
इसलिए 50 से 60 के बीच कोई पूर्ण वर्ग नहीं है।
उत्तर: 0

🎯 Exam Strategy

• 1–30 तक के वर्ग याद रखें।
• 1–20 तक के घन याद रखें।
• Perfect Square की अंतिम अंक वाली property याद रखें।
• Prime factorisation में exponents को देखें।
• Cube Root में अंतिम अंक की mapping का प्रयोग करें।
• सबसे छोटी संख्या जोड़ने/घटाने वाले प्रश्नों में nearest square खोजें।
• MCQ में पहले विकल्पों को eliminate करें।

2️⃣0️⃣ One Liner Quick Revision

Q1. 12 का वर्ग क्या है?
Ans: 144

Q2. √169 का मान क्या है?
Ans: 13

Q3. 5³ कितना है?
Ans: 125

Q4. ∛729 का मान क्या है?
Ans: 9

Q5. पूर्ण वर्ग के इकाई अंक कौन-कौन से हो सकते हैं?
Ans: 0, 1, 4, 5, 6, 9

Q6. पूर्ण घन में prime factor की घात कैसी होती है?
Ans: 3 के गुणज

Q7. 72 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए किससे गुणा करें?
Ans: 2

Q8. 144 का वर्गमूल क्या है?
Ans: 12

⭐ Exam Important Points

• Perfect Square की पहचान के लिए अंतिम अंक की property याद रखें।
• Prime factorisation में सभी exponents even हों तो संख्या perfect square है।
• Prime factorisation में सभी exponents 3 के multiples हों तो संख्या perfect cube है।
• वर्गमूल में factors के जोड़े बनाए जाते हैं।
• घनमूल में factors के तीन-तीन के समूह बनाए जाते हैं।
• Square और Cube के standard values calculation speed बढ़ाते हैं।
• MCQ में elimination technique का प्रयोग करें।

🚀 Chapter 21 Preparation Roadmap

📖 Concept
⬇
🔢 Squares & Cubes
⬇
√ Square Root
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∛ Cube Root
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🧩 Prime Factorisation
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⚡ Short Tricks
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🎯 SuperTET Level Questions
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🔄 Quick Revision

📚 Sunil Learning Point

प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए व्यवस्थित एवं Concept-based तैयारी

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