गणित ✍️ अध्याय-11: लाभ, हानि एवं छूट (Full Notes)

💰 गणित — अध्याय 11

लाभ, हानि एवं छूट

Profit • Loss • Cost Price • Selling Price • Marked Price • Discount • Successive Discount • Competitive Questions

📚 अध्याय परिचय
लाभ, हानि एवं छूट गणित का अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है। प्रतियोगी परीक्षाओं में प्रश्न केवल लाभ या हानि का प्रतिशत निकालने तक सीमित नहीं होते। Cost Price, Selling Price, Marked Price, Discount, Successive Discount, Reverse Calculation, लाभ-हानि प्रतिशत तथा वास्तविक मूल्य आधारित प्रश्न भी पूछे जा सकते हैं।

इस अध्याय में concepts, formulas, shortcuts और competitive level examples को क्रमबद्ध तरीके से समझाया गया है।

📑 Table of Contents

1. लाभ और हानि क्या है?
2. क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य
3. लाभ का सूत्र और लाभ प्रतिशत
4. हानि का सूत्र और हानि प्रतिशत
5. Profit-Loss Percentage का आधार
6. Selling Price ज्ञात करना
7. Cost Price ज्ञात करना
8. Marked Price और Discount
9. Discount Percentage
10. Discount के बाद Selling Price
11. Successive Discount
12. लाभ के साथ Discount
13. हानि के साथ Discount
14. Reverse Profit-Loss Questions
15. Competitive Shortcuts
16. Competitive Level Solved Examples
17. Advanced Applications
18. Common Traps और गलतियाँ
19. Exam Strategy
20. One Liner Quick Revision

1️⃣ लाभ और हानि क्या है?

किसी वस्तु को खरीदने के बाद उसे बेचने पर यदि विक्रय मूल्य खरीद मूल्य से अधिक हो, तो लाभ (Profit) होता है।

यदि विक्रय मूल्य खरीद मूल्य से कम हो, तो हानि (Loss) होती है।

SP > CP → Profit
SP < CP → Loss
SP = CP → No Profit, No Loss

उदाहरण

किसी वस्तु को ₹500 में खरीदकर ₹600 में बेचा गया।

Profit = 600 − 500
= ₹100

यदि वही वस्तु ₹450 में बेची जाती:

Loss = 500 − 450
= ₹50

2️⃣ क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य

CP = Cost Price = क्रय मूल्य
वस्तु खरीदने में लगा मूल्य।

SP = Selling Price = विक्रय मूल्य
वस्तु बेचने पर प्राप्त मूल्य।

मुख्य संबंध

Profit होने पर → SP = CP + Profit
Loss होने पर → SP = CP − Loss

उदाहरण

CP = ₹800 और SP = ₹920

Profit = 920 − 800
= ₹120

3️⃣ लाभ का सूत्र और लाभ प्रतिशत

Profit = SP − CP

Profit% = (Profit ÷ CP) × 100

महत्वपूर्ण: Profit Percentage हमेशा सामान्यतः Cost Price के आधार पर निकाला जाता है।

उदाहरण

CP = ₹500 और SP = ₹600

Profit = 600 − 500 = ₹100
Profit% = (100 ÷ 500) × 100
= 20%

Exam Rule: लाभ प्रतिशत का denominator CP होता है, SP नहीं।

4️⃣ हानि का सूत्र और हानि प्रतिशत

Loss = CP − SP

Loss% = (Loss ÷ CP) × 100

उदाहरण

किसी वस्तु का CP ₹800 और SP ₹680 है।

Loss = 800 − 680 = ₹120
Loss% = (120 ÷ 800) × 100
= 15%

याद रखें: Loss percentage का आधार भी CP ही है।

5️⃣ Profit-Loss Percentage का आधार

यदि किसी वस्तु पर p% लाभ हो, तो:

SP = CP × (100 + p)/100

यदि p% हानि हो, तो:

SP = CP × (100 − p)/100

उदाहरण

CP ₹1,000 है और लाभ 25% है।

SP = 1000 × 125/100
= ₹1,250

यदि हानि 20% हो:

SP = 1000 × 80/100
= ₹800

6️⃣ Selling Price ज्ञात करना

यदि CP और Profit% दिया हो:

SP = CP × (100 + Profit%) / 100

यदि CP और Loss% दिया हो:

SP = CP × (100 − Loss%) / 100

उदाहरण

एक वस्तु ₹2,400 में खरीदी गई और 15% लाभ पर बेची गई। SP?

SP = 2400 × 115/100
= ₹2,760

हानि वाला उदाहरण

CP ₹1,500 और Loss 12% है।

SP = 1500 × 88/100
= ₹1,320

7️⃣ Cost Price ज्ञात करना

यदि SP और Profit% दिया हो, तो CP को reverse calculation से निकालना पड़ता है।

Profit p%:
CP = SP × 100 / (100 + p)

Loss p%:
CP = SP × 100 / (100 − p)

उदाहरण

20% लाभ पर किसी वस्तु का SP ₹1,200 है। CP?

CP = 1200 × 100/120
= ₹1,000

हानि का उदाहरण

10% हानि पर SP ₹900 है। CP?

CP = 900 × 100/90
= ₹1,000

8️⃣ Marked Price और Discount

Marked Price (MP) वह मूल्य है जो वस्तु पर अंकित किया जाता है।

वस्तु को MP से कम मूल्य पर बेचने पर दी गई कमी को Discount कहते हैं।

Discount = MP − SP

उदाहरण

किसी वस्तु का Marked Price ₹2,000 है और वह ₹1,700 में बेची गई।

Discount = 2000 − 1700
= ₹300

ध्यान दें: Discount का percentage सामान्यतः Marked Price पर निकाला जाता है।

9️⃣ Discount Percentage

Discount% = (Discount ÷ MP) × 100

उदाहरण

MP ₹2,500 और Discount ₹375 है। Discount%?

Discount% = 375/2500 × 100
= 15%

Shortcut

यदि discount d% है, तो:

SP = MP × (100 − d)/100

🔟 Discount के बाद Selling Price

यदि MP और discount percentage दिया हो, तो discounted selling price सीधे निकाला जा सकता है।

उदाहरण

एक वस्तु का MP ₹4,000 है और उस पर 15% discount दिया जाता है। SP?

SP = 4000 × 85/100
= ₹3,400

दूसरा तरीका

Discount = 15% of 4000 = ₹600
SP = 4000 − 600
= ₹3,400

1️⃣1️⃣ Successive Discount

जब किसी वस्तु पर एक के बाद दूसरा discount दिया जाता है, तो दोनों discounts को सीधे जोड़ना हमेशा सही नहीं होता।

Equivalent Discount = a + b − (ab/100)

उदाहरण

20% और 10% के successive discounts का equivalent discount?

= 20 + 10 − (20 × 10)/100
= 30 − 2
= 28%

वास्तविक उदाहरण

MP ₹5,000 पर पहले 20% और फिर 10% discount:

पहला Discount → 5000 × 80/100 = ₹4,000
दूसरा Discount → 4000 × 90/100 = ₹3,600
Final SP = ₹3,600

⚠️ Trap: 20% + 10% = 30% लिखकर final discount नहीं निकालना चाहिए। सही equivalent discount 28% है।

1️⃣2️⃣ लाभ के साथ Discount

कई competitive questions में दुकानदार वस्तु को पहले Marked Price करता है, फिर discount देता है, फिर भी उसे profit होता है।

मुख्य संबंध

MP → Discount → SP → Profit/Loss compared with CP

उदाहरण

किसी वस्तु का CP ₹1,000 है। उसे ₹1,500 पर mark किया गया और 20% discount दिया गया। Profit%?

SP = 1500 × 80/100
= ₹1,200
Profit = 1200 − 1000 = ₹200
Profit% = 200/1000 × 100
= 20%

ध्यान दें: Discount percentage MP पर है, जबकि Profit percentage CP पर है।

1️⃣3️⃣ हानि के साथ Discount

Discount देने के बाद भी वस्तु पर loss हो सकता है। ऐसी स्थिति में CP, MP और final SP के बीच संबंध बनाना आवश्यक है।

उदाहरण

CP ₹1,200 और MP ₹1,500 है। 20% discount देने पर क्या होगा?

SP = 1500 × 80/100
= ₹1,200
SP = CP
न लाभ, न हानि

महत्वपूर्ण निष्कर्ष

यदि discount के बाद SP ठीक CP के बराबर हो जाए, तो transaction में न लाभ होगा और न हानि।

1️⃣4️⃣ Reverse Profit-Loss Questions

Reverse questions में final SP या profit/loss percentage से CP या original value निकालनी होती है।

उदाहरण 1

25% लाभ पर किसी वस्तु को ₹1,500 में बेचा गया। CP?

CP = 1500 × 100/125
= ₹1,200

उदाहरण 2

20% हानि पर वस्तु ₹960 में बेची गई। CP?

CP = 960 × 100/80
= ₹1,200

Reverse Rule: पहले यह पहचानें कि दिया गया percentage CP पर लागू है या MP पर।

1️⃣5️⃣ Competitive Shortcuts

🔹 Shortcut 1

Profit p% → SP = CP × (100+p)/100

🔹 Shortcut 2

Loss p% → SP = CP × (100−p)/100

🔹 Shortcut 3

Profit p% और SP दिया हो → CP = SP × 100/(100+p)

🔹 Shortcut 4

Loss p% और SP दिया हो → CP = SP × 100/(100−p)

🔹 Shortcut 5

Discount d% → SP = MP × (100−d)/100

🔹 Shortcut 6

दो successive discounts a% और b% → Equivalent Discount = a+b−ab/100

🔹 Shortcut 7

यदि CP = 100 मानकर percentage questions हल करें, तो calculation कई बार बहुत आसान हो जाती है।

1️⃣6️⃣ Competitive Level Solved Examples

प्रश्न 1: किसी वस्तु का CP ₹800 और SP ₹920 है। Profit%?

Profit = 120
Profit% = 120/800 × 100
= 15%

प्रश्न 2: किसी वस्तु को 20% लाभ पर ₹1,440 में बेचा गया। CP?

CP = 1440 × 100/120
= ₹1,200

प्रश्न 3: ₹2,000 की वस्तु पर 15% discount दिया गया। SP?

SP = 2000 × 85/100
= ₹1,700

प्रश्न 4: 20% और 15% successive discounts का equivalent discount?

= 20 + 15 − 300/100
= 35 − 3
= 32%

प्रश्न 5: CP ₹1,000, MP ₹1,500 और discount 20% है। Profit%?

SP = 1500 × 80/100 = 1200
Profit = 200
Profit% = 200/1000 × 100
= 20%

प्रश्न 6: किसी वस्तु को 10% हानि पर ₹1,080 में बेचा गया। CP?

CP = 1080 × 100/90
= ₹1,200

1️⃣7️⃣ Advanced Applications

🔹 Marked Price से Profit

जब MP और discount दिया हो, तो पहले SP निकालें और फिर CP से तुलना करें।

🔹 Reverse Discount

यदि discount के बाद SP दिया हो, तो MP निकालने के लिए SP को remaining percentage से divide करें।

🔹 Profit + Discount

इन प्रश्नों में Profit% का आधार CP और Discount% का आधार MP होता है। दोनों को एक जैसा न मानें।

🔹 Successive Discounts

दूसरा discount पहले discount के बाद बचे हुए मूल्य पर लगता है।

🔹 Same Selling Price

एक वस्तु पर x% लाभ और दूसरी पर x% हानि जैसी स्थितियों में कुल परिणाम निकालते समय दोनों CP अलग हो सकते हैं, इसलिए सीधे प्रतिशत cancel न करें।

🎯 SuperTET Focus: कठिन प्रश्न में सबसे पहले CP, SP और MP की position पहचानें। इसके बाद percentage का सही base तय करें।

1️⃣8️⃣ Common Traps और गलतियाँ

• Profit% को SP के आधार पर निकाल देना।
• Loss% का denominator SP लेना।
• Discount% को CP के आधार पर निकालना।
• MP और CP को एक ही मान लेना।
• Successive discounts को सीधे जोड़ देना।
• Reverse calculation में 100 ± percentage गलत लगाना।
• Discount के बाद बचे हुए मूल्य पर दूसरा discount न लगाना।
• Profit और Discount दोनों में एक ही base मान लेना।
• Loss को negative number समझकर formula में sign की गलती करना।

⚠️ सबसे महत्वपूर्ण: Percentage question में हमेशा पूछें — “यह percentage किस value के आधार पर है?”

1️⃣9️⃣ Exam Strategy

Step 1: CP, SP और MP identify करें।

Step 2: Profit है या Loss, यह तय करें।

Step 3: Percentage का base पहचानें।

Step 4: Successive discount हो तो एक-एक करके apply करें।

Step 5: Reverse question में final value से original value निकालें।

Step 6: Answer को अनुमान से भी check करें कि उसका direction सही है या नहीं।

🎯 Fast Revision Formula Set

Profit = SP − CP
Loss = CP − SP
Profit% = Profit/CP × 100
Loss% = Loss/CP × 100
Discount = MP − SP
Discount% = Discount/MP × 100

2️⃣0️⃣ One Liner Quick Revision

1. CP का अर्थ Cost Price अर्थात क्रय मूल्य है।

2. SP का अर्थ Selling Price अर्थात विक्रय मूल्य है।

3. Profit = SP − CP.

4. Loss = CP − SP.

5. Profit% का आधार CP होता है।

6. Loss% का आधार CP होता है।

7. Marked Price से discount घटाने पर Selling Price मिलता है।

8. Discount% का आधार MP होता है।

9. Successive discounts सीधे जोड़ना सही नहीं होता।

10. दो successive discounts a और b हों तो equivalent discount = a+b−ab/100.

11. Profit p% पर SP = CP × (100+p)/100.

12. Loss p% पर SP = CP × (100−p)/100.

🎯 Exam Important Points

• CP, SP और MP का अंतर अच्छी तरह समझें।
• Profit और Loss percentage का base याद रखें।
• Discount percentage MP पर आधारित होता है।
• Successive Discount के प्रश्न अवश्य करें।
• Reverse Profit-Loss questions का अभ्यास करें।
• Marked Price + Discount + Profit वाले questions करें।
• Percentage को fraction में बदलकर calculation तेज करें।
• Question में दिए गए base को हमेशा verify करें।
• Shortcut के साथ concept भी मजबूत रखें।

📚 Chapter 11 Preparation Roadmap

💰 CP / SP
⬇
📈 Profit / Loss
⬇
📊 Percentage
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🏷️ Marked Price
⬇
🔻 Discount
⬇
🔄 Successive Discount
⬇
🧠 Reverse Questions
⬇
🎯 Competitive Practice
⬇
🔄 Final Revision

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